Metacognicion

Las funciones hiperbólicas inversas.
La función f(x)=senh x, definida en toda la recta real, es continua y estrictamente creciente. Además se tiene

Luego esta función es un homeomorfismo de IRen IR, su función inversa
                                                f -1(x)=arg sh x
(argumento del seno hiperbólico) es también continua y estrictamente creciente en IR.
 
La funciónarg sh x se puede expresar utilizando la función logaritmo como

para demostrar esto basta observar que

La función cosh x es continua y estrictamente creciente en el intervalo [0, ¥ ) y se tieneLuego esta función es un homeomorfismo del citado intervalo sobre [1, ¥ ). Su función inversa
                                                f -1(x)=arg cosh x
(argumento del cosenohiperbólico) es también continua y estrictamente creciente definida en [1,¥ ) .
 
De igual forma que arg senh x , se puede expresar mediante el logaritmo como

Si tomamos ahora la función cosh x en lasemirecta (-¥ , 0], aquí dicha función es continua y estrictamente decreciente y resulta ser un homeomorfismo de dicho intervalo en [1, ¥ ) . Por lo tanto tenemos definida la función inversa que seexpresa utilizando el logaritmo como

Como podemos observar tenemos dos valores de arg cosh para cada x en la semirecta [1, ¥).
Esto indica que la función arg cosh x es multivaluada: cada una de lasfunciones univaluadas arg cosh x definidas anteriormente se conoce como una determinación o rama de la función arg cosh x multivaluada.
 
 
 

 
 
 
Teorema.- Las funciones hiperbólicasinversas son derivables y sus derivadas vienen dadas por
Por último para la función th x, definida en toda la recta real y estrictamente creciente en ella, se tiene definida su inversa en elintervalo (-1, 1), puesto que

Dicha función inversa, arg th x, está definida, es continua y estrictamente creciente en el intervalo (-1, 1) y se expresa utilizando el logaritmo como

 
 

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