METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

Carlos Enríquez 
 

25/04/2012
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El mé todo de los mı́nimos cuadrados

1 Introducción
En  todo  problema  geodésico  aparecen  involucrados  tres  tipos  de  elementos  de  carácter 
fundamental.  En  primer  lugar  están  las  magnitudes  que  deseamos  determinar  y  a  las  que 
llamamos  parámetros,  son  las  incógnitas del  problema.  En  segundo  lugar  están  aquellas 
magnitudes que podemos medir directa o indirectamente y que llamamos observables. En tercer 
lugar  están  las  funciones  o  relaciones  matemáticas  establecidas  entre  los  parámetros  y  los 
observables. Al conjunto de parámetros, observables y funciones llamamos modelo matemático. 
Por  ejemplo,  en  el  trabajo  de  campo  se realizan  medidas  tales  como  distancias  y 
ángulos para determinar parámetros tales como coordenadas. También hay veces que 
queremos  determinar  parámetros  que  no  podemos  medir  directamente  como  por 
ejemplo calcular el área de una parcela midiendo sus lados. 
Supongamos que queremos medir la superficie de una parcela que tiene forma de triángulo. Por geometría elemental sabemos que un triángulo queda determinado si conocemos los tres lados, o 
dos lados y un ángulo, o dos ángulo y un lado. En todos los casos se sigue que es necesario calcular 
tres  elementos  para  determinar  el  tamaño  del  triángulo.  Al  mínimo  número  de  elementos 
(variables) necesarias para determinar de forma única el modelo lo notaremos con (n0). Mediante el modelo matemático se describe una situación o fenómeno físico o geométrico con el 
que se intenta explicar la realidad del problema y suele considerarse constituido por dos partes: el 
modelo funcional y el modelo estocástico. 
El  modelo  funcional  o  determinista  que  establece  las  propiedades  físicas  o  geométricas  del problema dando las relaciones matemáticas entre las variables involucradas de forma implícita o 
explícita, con independencia de los valores numéricos que tomen dichas variables. Está constituido 
por  las  funciones  que  relacionen  los  parámetros  con  los  observables  incluyendo  algunas 
constantes  propias  del  fenómeno  estudiado  si  ello  fuera  necesario.  En  forma  implícita  general 
podemos escribir un modelo funcional como 
 

F  X , L  0  

(1.1) también puede adoptar una forma explícita en L: 
 

L  FX 

(1.2) 

X  F L  

(1.3) 

o en X 
 

o, en ausencia de parámetros, la forma de un modelo condición 
 

F L  0  

(1.4) 

En estas expresiones F es un conjunto de funciones, que pueden ser la misma en cada caso, X son los parámetros, que son variables independientes entre sí y que no se pueden observar, salvo en 
el  caso  trivial  del  modelo  (1.3)  y  L  son  los  observables,  variables  del  problema  a  las  que  se  les 
podrá asignar valores por observación. 
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Carlos Enríquez 
 

25/04/2012
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El  modelo  estocástico  establece  las  características  o  propiedades  estocásticas  de  las  variables 
aleatorias  involucradas en  el  modelo  funcional.  La  necesidad  del  modelo  estocástico  surge  del 
hecho inicial de que las observaciones que entran en el problema son variables aleatorias, al ser el 
resultado  de  un  proceso  de  medida  en  el  que  incuestionablemente  se  cometen  errores  de 
observación;  además  otras  variables  del  modelo  como  los  parámetros,  e  incluso  las  propias funciones  pueden  tener  también  carácter  aleatorio.  El  modelo  estocástico  se  especifica 
generalmente  dando  la  esperanza  matemática  de  las  variables  aleatorias  que  intervengan  y  sus 
matrices de varianza‐covarianza. 
En resumen: 
En  el  trabajo  de  campo  se  realizan  medidas  tales  como  distancias  y  ángulos  para  determinar ...