Metodo de los minimos cuadrados

METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS Nº

II. OBJETIVO:

* Aplicar el método de los mínimos cuadrados para determinar una ley cuantitativa entre dos magnitudes físicas que varían en forma lineal.

III. FUNDAMENTO TEORICO:
Uno de los problemas de física Experimental es determinar una ley cuantitativa entre dos o más magnitudes que están variando en forma correlativa.

Sean los n devalores correspondientes de: x1,y1;x2,y2;…… xn,yn suponiendo que la relación funcional entre dos magnitudes x e y es del tipo lineal:

y=a+bx ó y=ax+b … …. …(1)

Con dos parámetros desconocidos a y b, cuyos valores más probables, son tales que:
i=1nri2>0

Sea una cantidad mínima. Donde:

ri=yi-axi- b=yi-yi'…………(2)

Es decir:
n=in[yi-(axi+ b)]²=mínimo……………(3)

Para satisfaceresta condición tiene que ser nulas todas las derivadas a y b; o sea:

∂ri2∂∝ = 0; ∂ri2∂b = 0… … … … (4)

Que nos permite de tener el siguiente sistema de ecuaciones:

xy=ax2+bx ; y=ax+ bn … … … … (5)

Resolviendo se tiene:

a=nxy-x(y)nx2-(x)²……………6 (pendiente teórica)

b=yx2- (x)(xy)nx2- (x)² = y-axn…………(7)

El parámetro a, determinado per la Ec. (6) representa la pendiente dela recta, mientras que el parámetro b, determinado por la Ec. (7) representa el punto de intersección de la línea recta (19 con el eje de las coordenadas.
(Fig.1)

La recta: y=ax+b para un punto muy particular de coordenadas P(x ,y), donde:
x=xin ; y=yin………(8)

En la experiencia, una vez que se encuentran los n pares de datos xi,yi ; se calculan b,x,y por medio de las ecuaciones (7) y (3).Se trazan a continuación la recta que pase por el punto p y el punto (0, b); la pendiente (a) de dicha recta que ser igual al valor calculado con la Ec. (6).

Según la teoría de errores de una variable, cantidades como μ y σ se puede determinar los errores sobre los parámetros y están dados por:

σa2=(yi-yi')²(n-2) nnxi2-(xi)²…………(9)

σb2=(yi-yi')²(n-2) x2nxi2-(xi)²

Nota:

Pendiente(a=m), luego m= k² calculando por la Ec. (12); una vez determinado el valor de g por la Ec. (14); ó sea que la Ec. (12) sirve para comparar si la pendiente teórica obtenida por a=k² fue bien determinada.

Para determinar que también la recta de regresión de mínimos cuadrados se ajusta a los datos experimentales, se halla el coeficiente de correlación lineal(r).r=nxy-x(y)[nx2-(x)²][ny2-(y)²]…………(10)

Si r=±1 se dice que hay una correlación lineal perfecta. Así mismo si r=0, la correlación es totalmente imperfecta.


Según la tabla de datos experimentales determinar la frecuencia y de allí el periodo.T=1f…………a……11; f=10 oscilacionest ;

t1=t1+t2+t3+t4+t5
t2=t1+t2+t3+t4+t5
t3=t1+t2+t3+t4+t5
t4=t1+t2+t3+t4+t5
t5=t1+t2+t3+t4+t5

Para el periodo también se puede determinar por:

T=2пLg…………b………(11) (Sólo para comprobar)

De (11.b) se puede determinar la pendiente de la recta elevando al cuadrado a ambos términos:T2=4п2Lg ; Si T2=k2(L) (sólo para comprobar)
De donde:

k2=4п2g…………12(pendiente de la recta)
(Para comprobar el valor obtenido por Ec. 6)

Si Graficamos T2 VS L usamos el método de los mínimos cuadrados. T=Periodo, L=Longitud.

(Fig.2)

De la Grafica

m=∆y∆x=y2-y1x2-x1

La pendiente de la recta es:

m= tgθ=∆T2∆L=∆y∆x ó θ=arctag∆y∆x

m=k2…………(13)

a=k2=m(pendiente experimental)

Reemplazando el valor de la pendiente se puede determinar:

g=4п2k2………(14) (K2=a) (pendiente teórica)

Nota: el valor de g será la gravedad local, que en el SI (ms-2).

IV. EQUIPO Y MATERIALES :

Soporte universal | Balanza |
Regla graduada | Cronómetro |

Transportador | Masas pendulares |

V. PROCEDIMIENTO:

1. Armar el...