Metodo de runge kutta

METODO DE RUNGE-KUTTA
Los métodos de Runge Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de la serie de Taylor sin necesitar el cálculo de derivadas de orden superior.
Existen muchas variantes,pero todos tienen la forma generalizada de la ecuación:
Yi+1 = YI+0 h…………. 1
Por hendo de la ec….1 tenemos:
Yi+1= Yi+0 Xi,Yi,hh…………. 2
Dónde:
0= Xi, Yi, h
Se conoce como una función incremento,la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en el intervalo.
La función incremento se escribe en forma general como:
0=a1k1+a2k2+ ………+ankn ………3
Donde A son constantes y las kson:
K1=f XI , YI
K2=f Xi+ P1h , Yi+ Q11K1h
K3=f Xi+ P2h , Yi+ Q21K1h+ Q22K2h
Kn=f Xi+ Pn-1h , Yi+ Qn-1,1K1h+ Qn-1,2K2h+ Qn-1,n-1Kn-1h
Dónde:
P y Q son constantes
K = relaciones de concurrencia;es decir, K1 aparece en relación a K2, la cual aparece en la ecuación K3, etc…

Por lo tanto:
El método de Runge – Kutta (RK) de primer orden con n=1es, de hecho, el método de Euler.
Una vez quese elige n1 se evalúan las A, P y Q igualando la ecuación:
Yi+1=Yi+0 Xi,Yi,hh
A los términos en la expansión de la serie de Taylor.
MÉTODOS DE RUNGE – KUTTA DE SEGUNDO ORDEN
La versión de segundoorden de la ecuación 2 es.
Yi+1=Yi+a1K1+a2K2h……………4
Dónde:
K1=f XI , YI……………. (4a)
K2=f Xi+ P1h , Yi+ q11K1h…………. (4b)
Los valores A1, A2, P1 y q11se evalúan al igualar la ecuación 4 con laexpansión de la serie de Taylor hasta el término de segundo orden. Consultar libor de “métodos numéricos para ingenieros” edición 4ta, autor: chapra pág. 736 cuadro 25.1
Al hacerlo, desarrollamos tresecuaciones para evaluar las cuatro constantes desconocidas. Estas ecuaciones son:
a1+a2=1……………………5
a2 p1=12……………………6
a2 q11= 12 ……………………7

Ahora se tiene tres ecuaciones con cuatro incognitas porlo tanto se tiene que dar un valor de una de ellas para determinar las otras tres por lo tanto suponiendo que le demos un valor a A2 tenemos:
a1=1- a2……………………8
p1= q11= 12a2 ……………………9
Debido a...