Metodos numericoa para edo

MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es  [pic], entonces puede despejarse  [pic]  ó bien  sumar  [pic] en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada. 
Ejemplos:
1) La ecuación  [pic]  se puede transformar en  [pic].
2) La ecuación   [pic]  se puede transformar en  [pic] . 
Dada la aproximación  [pic], lasiguiente iteración se calcula con la fórmula:

Supongamos que la raíz verdadera es  , es decir,

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si  [pic] es contínua en  [pic]  y diferenciable en [pic] entonces  existe  [pic] tal que  [pic].
En nuestro caso, existe  [pic]  en el intervalo determinado por  [pic] y  [pic] tal que:

De aquítenemos que:
[pic]
O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,
[pic]
Observe que el término [pic] es precisamente el error absoluto en la  [pic] ésima iteración, mientras que el término  [pic]  corresponde al error absoluto en la  [pic] ésima iteración.
Por lo tanto, solamente si  [pic], entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si  [pic]  para  [pic] en un intervalo [pic] que contiene a la raíz y donde  [pic] es contínua y diferenciable, pero diverge si  [pic] en dicho intervalo.
Analicemos nuestros ejemplos anteriores:
En el ejemplo 1,  [pic] y claramente se cumple la condición de que [pic]. Por lo tanto el método sí converge a la raíz.
En elejemplo 2,  [pic] y en  este caso,  [pic]. Por lo tanto, el método no converge a la raíz.
  Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos: 
Ejemplo 1
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de  [pic], comenzando con  [pic] y hasta que  [pic]. 
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,Con un error aproximado de [pic]
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,
[pic]
Y un error aproximado de  [pic].
Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:

Con un error aproximado igual al [pic]. 
Ejemplo 2
Usar el métodode iteración del punto fijo para aproximar la raíz de  [pic], comenzando con  [pic] y hasta que  [pic]. 
Solución
Si despejamos la [pic] del término lineal, vemos que la ecuación equivale a
[pic]
 de donde, 
[pic] 
 En este caso, tenemos que  [pic]. Un vistazo a la gráfica,
|  |[pic] |[pic] |

nosconvence que [pic], para [pic], lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada.
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:
[pic]
Con un error aproximado del 100%.
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:
[pic]
Con un error aproximado igual al 28.41%.
En este ejemplo, el  método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimoslos resultados en la siguiente tabla:
|Aprox. a la raíz |Error aprox. |
|0 |  |
|-0.2 |100% |
|-0.1557461506 |28.41% |
|-0.1663039075 |6.34% |
|-0.163826372 |1.51%|
|-0.164410064 |0.35% |

De donde vemos que la aproximación buscada es:

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:
Teorema del Valor Intermedio
Sea  [pic]  contínua en un intervalo  [pic] y supongamos que  [pic]. Entonces para cada  [pic] tal que  [pic], existe  un [pic] tal que  [pic]. La...