Metodos numericos

Ejercicios
Raíces de ecuaciones no lineales
Métodos Numéricos

Para cada uno de los siguientes problemas aplicar el(los) método(s) de Newton-Raphson y de Secante.

1. En un proceso de ingeniera química el vapor de agua (H2O) se calienta a temperaturas altas para que una porción significativa del agua se disocie, o se rompa, para formar oxigeno (O2) e hidrogeno (H2):
H2O H2+1202
Si seasume que esta es la única reacción que se lleva a cabo, la fracción molar x de H2O que se disocia se representa por

Donde K es la constante de equilibrio de la reacción y pt =3.5 atm presión total de la mezcla. Si pt = 3:5 atm y K = 0.04, determinar el valor de x que satisfaga la ecuación dada.

Sustituyendo los valores se obtiene

0.04=x1-x72+x

Arreglando la ecuación se obtiene:Aplicando el método de Newton con el polinimio

Con la ayuda del software MATLAB® encontramos la raíz de la ecuación con una tolerancia de 1.0 e-8, tomando como p0=0.2 la salida resulta:

n | pn | pn-pn+1 |
1 | 0.02088942 | 0.00088942 |
2 | 0.02101693 | 0.00012752 |
3 | 0.02103703 | 0.00002009 |
4 | 0.02104023 | 0.00000321 |
5 | 0.02104074 | 0.00000051 |
6 | 0.02104083 |0.00000008 |
7 | 0.02104084 | 0.00000001 |


Tabla no 1.0

Entonces la raíz encontrada es 0.02104084con 8 dígitos significativos.

Método de la secante
Con la ayuda del software MATLAB® encontramos la raíz de la ecuación con una tolerancia de 1.0 e-8, tomando como p0=0.2 y p0=1 la salida resulta:

n | pn| pn-pn+1 |
1 | 0.02004256 | 0.97995744 |
2 | 0.02008342 | 0.00004086 |
3 | 0.02106426 | 0.00098084 |
4 | 0.02104030 | 0.00002395 |
5 | 0.02104084 | 0.00000054 |
Tabla no 1.1

Entonces la raíz encontrada es 0.02104084 con 8 dígitos significativos.

2. La siguiente ecuación permite calcular la concentración de unquímico en un reactor donde se tiene una mezcla completa:

Si la concentración inicial es C0 = 5 y la concentración de entrada es Cent =12, calcule el tiempo requerido para que C sea el 85% de Cent.

Sustituyendo los valores se obtiene

10.2=121-e-0.04 t+5 e-0.04t

Arreglando la ecuación se obtiene:

fx=121-e-0.04 t+5 e-0.04t-10.2

f'x=0.28(0.960789439152)t

Analizaremos la gráficade f(x)

Gráfica No.1

Se puede observar la raíz se encuentra alrededor de 30
Con la ayuda del software MATLAB® encontramos la raíz de la ecuación con una tolerancia de 1.0 e-8, tomando como p0=30 la salida resulta:
n | pn | pn-pn+1 |
1 | 33.65639121 | 3.65639121 |
2 | 33.95133348 | 0.29494227 |
3 | 33.95308704 | 0.00175356 |4 | 33.95308710 | 0.00000006 |
Tabla 2.0

Entonces la raíz encontrada es 33.95308710 con 8 dígitos significativos.

Método de la secante
Con la ayuda del software MATLAB® encontramos la raíz de la ecuación con una tolerancia de 1.0 e-8, tomando como p0=30y p0=31 la salida resulta:
n | pn | pn-pn+1 |
1 | 33.73000654 | 2.73000654 |
2 |33.94018936 | 0.21018282 |
3 | 33.95302965 | 0.01284029 |
4 | 33.95308709 | 0.00005744 |
5 | 33.95308710 | 0.00000001 |

Tabla 2.1

Entonces la raíz encontrada es 33.95308701 con 8 dígitos significativos.
3. La ecuación de estado de Redlich-Kwong esta dada por:

Donde R es la constante universal de los gases [R=0.518 kJ/kgK], Ttemperatura absoluta (K), p presión absoluta (kPa) y v volumen de un kg de gas (m3/kg). Los parámetros a y b se calculan mediante

Donde pc=4580 kPa y Tc=191 K. Como ingeniero químico se le pide determinar la cantidad de combustible metano que se puede almacenar en un tanque de 3 m3 a una temperatura de -50°C con una presión de 65000 kPa. Calcule v con estos datos y luego determine la masa de...