Metodos numericos

CUADRATURA GAUSSIANA
Este método de basa en muestrear el integrando de la función cuya integral se desea encontrar, a valores que representan raíces de polinomios ortogonales. Los más populares de éstos son los polinomios de Legendre. En general un conjunto de funciones 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) se conocen como ortogonales en un intervalo a x b , si
b a

w( x)

m

( x) n ( x) dx 0, m n(1)

Donde w( x ) es una función de ponderación no negativa en a b . Si las funciones
m

( x) son polinomios, estos se designan como polinomios ortogonales.

POLINOMIOS DE LEGENDRE.
Los primeros cinco polinomios de Legendre son:

P0 ( x) 1 P ( x) 1 P2 ( x) P3 ( x) P4 ( x) x
1 2 1 2 1 8

(3 x 2 1) (5 x
3

(2)

3 x)

(35 x 4 30 x 2 3)

El polinomio de Legendre de grado n sepuede obtener por medio d la fórmula de Rodrigues

Pn ( x)

1 dn 2 ( x 1) n 2n n ! dx n

O bien a partir de la fórmula recursiva:

(n 1) Pn 1 ( x) (2n 1) x Pn ( x) n Pn 1 ( x) 0
Las relaciones de ortogonalidad y normalización, con las funciones de ponderación (peso) igual a 1, son:

1 1

Pn ( x) Pm ( x) dx

0 2 2n 1

m

n
(3)

m n

Todas las raíces de cada Pn ( x ) intervalo0 son reales y distintas, además están contenidas en el

1 1.

CUADRATURA GAUSSIANA.
El propósito es discutir la fórmula de integración Gaussiana que aproxima
1 1

f ( x) dx

(4)

y mostrar que con un simple cambio de variable se pueden extender los límites de integración a valores distintos a 1 1 . La aproximación d la integral definida se puede definir como
1 1 n

f ( x)

w0f ( x0 ) w1 f ( x1 ) w2 f ( x2 )

wn f ( xn )
k 0

wk f ( xk )

(5)

w0 , w1 , , wn

son los coeficientes ponderados ó pesos.

El problema consiste en encontrar las (2n 2) constantes ( wi , f ( xi )) . Para encontrar las mencionadas constantes, partimos de la suposición básica de que la fórmula (2) representa sin aproximación, es decir, exactamente un polinomio de orden 2n 1 ó menor.Primero mostramos que los puntos xk (k de Legendre Pn 1 ( x) . 0, , n) , son iguales a las raíces del polinomio

Tomemos un polinomio arbitrario g n ( x) de grado n. En términos de polinomios de Legendre g n ( x) puede expresarse como

g n ( x)

0

P0 ( x)

1

P ( x) 1

n

Pn ( x)

(6)

Como ejemplo supongamos

g 2 ( x) 1 2 x x 2 .

De la ecuación (6) y (2) obtendremos:g 2 ( x)

0

1

x

2

2

(3 x 2 1)

2 0

2

1

x

3 2

2

x2

Comparando esta última expresión con la g 2 ( x) inicial obtenemos:
2 0

2

1,
4 3

1

2,
1

3 2

2

1,
2 3

De donde obtenemos finalmente: 0 Sustituyendo esto en (6), obtenemos

,

2,
2 3

2

.

g 2 ( x)

4 3

P0 ( x ) 2 P ( x ) 1

P2 ( x ) .

Este simple ejemplomuestra que cualquier polinomio g n ( x ) se puede escribir en términos de polinomios de Legendre. A partir de la definición de ortogonalidad expresada en (3):
1 1 1 1

g n ( x) Pn 1 ( x) dx
n 0 P ( x) P 1 ( x) 0 1 1 n 1 P ( x) P 1 ( x) 1 1 1 n P ( x) P 1 ( x) n n

0

(7)

Observamos que g n ( x) Pn 1 ( x) , es un polinomio de grado 2n 1 , y por tanto representa exactamente polinomios degrado 2n 1 ó menos, lo cual constituye el requisito básico mencionado antes, en la definición de la ecuación (5), para la selección de wk y xk (k 0, , n) . Comparando (7) con (5) obtenemos:

w0 g n ( x0 ) Pn 1 ( x0 ) w1 g n ( x1 ) Pn 1 ( x1 )

wn g n ( xn ) Pn 1 ( xn )

0

(8)

Como g n ( x) es un polinomio arbitrario, g n ( xk ) (k 0, , n) no es cero en general. Así mismo las n 1 funcionesde ponderación ó pesos wk (k 0, , n) no pueden ser todos cero, de lo contrario la ecuación (5) será igual a cero, lo cual constituye el caso trivial. Dado lo anterior la única condición para la ecuación (8) será:

Pn 1 ( x0 ) 0 Pn 1 ( x1 ) 0

Pn 1 ( xn ) 0
Lo anterior implica que x0 , x1 ,

, xn son las raíces del polinomio de Legendre

Pn 1 ( x) 0 .
1 1 existen n+1 raíces distintas....