Metodos

Capítulo 9

TEOREMAS DE STOKES E GAUSS
9.1 Teorema de Stokes
Seja S uma superfície regular orientável, parametrizada por Φ : D ⊂ R2 −→ R3 tal que ∂D é uma curva fechada simples, diferenciável por partes. Suponhamos que S é orientada com o campo de vetores normais unitários n. O bordo da superfície S é denotado e definido por ∂S = Φ(∂D). Se γ é uma parametrização da curva ∂D, então o bordo de Sé parametrizado por ∂S = Φ(γ(I)). Seja t o campo de vetores tangentes unitários à curva ∂S e b o campo de vetores unitários em ∂S perpendiculares a ∂S e tangentes a S, (apontando no sentido de S; veja o próximo desenho).

Definição 9.1. A curva ∂S é orientada positivamente se n = t × b.

bordo D Φ t bordo

n

bordo

b

bordo

bordo

Figura 9.1: 189

190

CAPÍTULO 9. TEOREMASDE STOKES E GAUSS

C1 S n

C2

C3

Figura 9.2: Exemplo 9.1. [1] Seja S o parabolóide parametrizado por Φ(x, y) = (x, y, x2 + y 2 ), (x, y) ∈ D onde D é o disco unitário; ∂D = {(x, y) / x2 + y 2 = 1}, logo: ∂S = Φ(∂D) = {(x, y, 1) / x2 + y 2 = 1}. O campo normal é Tx × Ty = (−2 x, −2 y, 1), o qual induz a orientação de S; parametrizamos ∂D por: γ(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2 π] e Φ(γ(t))= (cos(t), sen(t), 1). Logo, ∂S é percorrido no sentido positivo em relação à normal de S.

1

-1

1

-1

Figura 9.3: Exemplo [1]. [2] Seja a porção de cilindro definida por S = {(x, y, z) / x2 + y 2 = 1, 0 < z < 1}. A fronteira ∂S é formada por duas curvas disjuntas: Γ1 = {(x, y, z) / x2 + y 2 = 1, z = 0} e Γ2 = {(x, y, z) / x2 + y 2 = 1, z = 1};

se escolhermos como vetor normalqualquer vetor proporcional a (cos(θ), sen(θ), 0), Γ1 é percorrida no sentido positivo e Γ2 em sentido negativo.

9.1. TEOREMA DE STOKES

191

Figura 9.4: Exemplo [2]. Teorema 9.1. (Stokes) Seja S uma superfície regular orientada de classe C 1 tal que ∂S = C é uma curva fechada simples de classe C 1 por partes orientada positivamente. Se F um campo de vetores de classe C 1 , definido num abertoU tal que S ⊂ U , então:

rot(F ) dS =
S ∂S

F.

Figura 9.5: Teorema de Stokes. ˜ Se S está contida no plano xy, nas condições do teorema de Stokes, então, n = k.

192

CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE STOKES E GAUSS

n

S C

Figura 9.6: ˜ Se consideremos o campo F = (F1 , F2 , 0), então, rot(F ) · k = ∂F2 ∂F1 − dS = ∂x ∂y
∂F2 ∂x

−

∂F1 ∂y ,

e:

F,
∂S

S

um resultadoanálogo ao teorema de Green. O teorema de Stokes estabelece que o fluxo do rotacional de um campo de vetores F de classe C 1 através de uma superfície orientável S é igual ao trabalho (circulação) realizado por F ao longo da curva ∂S, cuja orientação é compatível com a de S. Exemplo 9.2. [1] Calcule
S

rot(F ) dS, onde S = {(x, y, z) ∈ R3 / x = −1 + y 2 + z 2 , x ≤ 0} e o campo F é

definido F (x,y, z) = (x z, z ex , −y).

Figura 9.7: Exemplo [1]. S pode ser parametrizada como gráfico da função f (y, z) = −1 + y 2 + z 2 ; logo, S é orientável; D = {(y, z) ∈ R2 / y 2 + z 2 < 1} e ∂S = {(x, y, z) ∈ R2 / y 2 + z 2 = 1, x = 0} pode ser parametrizada pot γ(t) = (0, cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2 π]. Pelo teorema de Stokes:
2π

rot(F ) dS =
S ∂S

F =−
0

dt = −2 π.

9.1. TEOREMA DESTOKES
[2] Calcule
C

193

y 2 dx + z 2 dy + x2 dz, onde C é o bordo do plano x + y + z = 1 no primeiro

octante, no sentido anti-horário.

Figura 9.8: Exemplo [2]. Aplicamos o teorema de Stokes para F (x, y, z) = (y 2 , z 2 , x2 ), então rot(F )(x, y, z) = −2 (z, x, y). Parametrizando S por: Φ(x, y) = (x, y, 1 − x − y), (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]

com normal (1, 1, 1), temos: rot(F (Φ(x,y))) · (1, 1, 1) = (0, −2 x, 2 (x − 1)) · (1, 1, 1) = −2; seja C = ∂S; então: F =
C S

rot(F ) dS = −2
S

dS = −2
D

dx dy = −2 A(D);

onde A(D) é a área da região D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x}:

1

1

Figura 9.9: Região D. Logo:
1 1−x

F = −2
C 0 0

dx dy = −1.

[3] Calcule superfície z =
C

(2 x y z + 2 x) dx + x2 z dy + x2 y dz, onde C é a curva obtida pela...