metodos


1. FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN EMPRESARIAL


Un taller de artesanía fabrica diferentes tipos de botijos. Tres tipos en concreto A, B y C que dan unos beneficios de 20, 15 y 10 € respectivamente.

Para el modelo A se necesitan 3 kg de arcilla y 2 horas de trabajo. Para el modelo B en cambio, se precisan 2 kg de arcilla y 4 horas de trabajo y por ultimo para el modelo Cse necesitan 3 kg de arcilla y 4 horas de trabajo. El taller dispone de 50 kg de arcilla y 65 horas de trabajo.
Sabemos que el taller solo puede hacer 8 botijos del tipo A.

¿Cuántos botijos de cada tipo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio?


Definición de las variables:

X: número de botijos del tipo A
Y: número de botijos del tipo B
Z: número de botijos del tipo C2. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO:

Max (x, y,z ) = 20x + 15y + 10z

3x + 2y + 3z ≤ 50
2x + 4y + 4z ≤ 65
x ≤ 8
x , y ,z ≥ 0





3. RESOLUCIÓN DEL MODELO PRIMAL :


Para obtener la solución o soluciones de este problema de programación lineal , lo resolvemos mediante el método simplex con el programa Win QSB.

La tabla inicial queda de lasiguiente manera:




Simplex tableau – iteration 1



Simplex tableau – iteration 2


Simplex tableau – iteration 3



The simplex method is complete.
De esta manera obtenemos que para maximizar el beneficio el taller de fabricar 8 botijos del modelo A , 12,2500 ( es decir 12) botijos del modelo B y ninguno del modelo C.
Obteniéndose un beneficio de 343,7500 €.
Si observamosla siguiente tabla podemos ver cuánto pueden variar los valores de x1 , x2 y x3 para que la tabla siga siendo óptima.
Informe combinado: beneficios por botijos


Disponibilidades

Vemos que mientras el beneficio por cada botijo del tipo A se mantenga entre ( 7,500 y M) el de tipo B entre ( 10,000 y 40,000) y los del tipo C entre ( -M Y 15,000) la solución seguirá siendo óptima.
Tambienvemos que mientras los vectores de disponibilidad se mantengan entre [48,500 y M] , [16,000 y 68,000] y [ 0 y 8,750] la solución seguirá siendo factible y óptima.
4. ESCRIBIR E INTERPRETAR SU PROBLEMA DUAL:


A partir del primal obtenemos el dual , ahora las x pasan a ser λ.

Problema primal Problema dual

Max (x1, x2,x3 ) = 20x1 + 15x2 + 10x3 Min (λ1, λ2,λ3) = 50 λ1+65 λ2+8 λ3

3x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 50 3 λ1 + 2 λ2 + λ3 ≥ 20
2x1 + 4x2 + 4x3 ≤ 65 2 λ1 + 4 λ2 ≥ 15
X1 ≤ 8 3 λ1 + 4 λ2 ≥ 10
X1 , x2 ,x3 ≥ 0 λ1, λ2, λ3 ≥0
sale
λ₁ λ₂ λ₃ h1 h2 h3
50 65 8 0 00
h₁ 0
h₂ 0
h₃ 0

-3 -2 -1 1 0 0
-2 -4 0 0 1 0
-3 -4 0 0 0 1
-20
-15
-10
50 65 8 00 0
-16.66 -32.5 -8entra

λ₁ λ₂ λ₃ h1 h2 h3
50 65 8 0 0 0
λ₃ 8
h₂ 0
h₃ 0

3 2 1...