Modelo Pendulo Invertido Con Carro

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO
Centro Universitario, Cerro de la Campanas S/N, C.P. 76010, Tel 1 92 12 00

ANÁLISIS Y CONTROL DE UN SISTEMA CARRO-PÉNDULO
Salvador Manuel Malagón-Soldaraa
chavamalagon@hotmail.com

RESUMEN: Dentro de este reporte se documenta el análisis del modelo de un péndulo invertido acoplado a un móvil que tiene la capacidad de desplazarse. Dicho análisis pasa porel modelo matemático en función de sus variables de estado, posteriormente se utilizará para llegar a una linealización en:

0  0  x0    0    0 
con una retroalimentación de estado. Continuamente se realiza una descripción de su comportamiento investigando su controlabilidad, estabilidad y observabilidad. Para finalizar se implementó una ley de control con la ayuda del método deAckermann. Todo el trabajo mencionado anteriormente fue elaborado con ayuda de Matlab en un archivo *.m. PALABRAS CLAVE: Péndulo invertido, sistemas lineales.

l

Fig. 1. Sistema de péndulo invertido acoplado a móvil.

2 1 INTRODUCCIÓN
2.1
Existen muchos tipos de sistemas dentro del ámbito ingenieril, cada uno con un comportamiento propio. Es por esto que se necesita una herramienta queprediga su conducta tomando en cuenta todos los factores que intervengan en el medio. Así nace una de las mejores armas de predicción: el modelado matemático. Como un subconjunto de todos los sistemas, esta asignatura analizó los sistemas lineales, los cuales pueden siempre ser analizados por ecuaciones matemáticas. En particular se emplearon las ecuaciones de estado, las cuales contienen un conjuntode matrices correspondientes a distintas características del sistema, su modelo es el siguiente:

MODELADO
NOMENCLATURA

A continuación se muestra de manera explícita la nomenclatura usada para nombrar a las variables presentes dentro del péndulo invertido. Algunas de las variantes de este modelo (Tabla 1) con respecto a otros tipos de péndulos con masa no despreciable en su cuerpo, es que elmomento de inercia I en este caso se considera como nulo [3]. Abriaviatura m M Descripción Masa del péndulo Masa del carro Longitud del pivote al centro masa m Fuerza de control Movimiento vertical Movimiento horizontal Constantes de fricción viscosa Ángulo de péndulo respecto a la vertical Posición del carro con 0 en pivote Aceleración de la gravedad

  x  Ax  Bu :  y  Cx  Du
En estaocasión el problema planteado consiste en un péndulo invertido acoplado a la parte superior de un carro móvil con cuatro llantas que interactúan directamente con el suelo (Fig. 1.).

l
U V H PyC θ x g

Tabla. 1. Nomenclatura de variables presentes.
a

Autor de correspondencia. Posgrado de FI en UAQ Tel. 192 12 00 Ext. 7006

1

S. Malagón/Proyecto Final – Sistemas Lineales

V

lH H

Sin embargo, ahora considerando que nuestro sistema sólo funciona para ángulos muy pequeños, es decir, que θ puede ser sustituido por un valor muy pequeño, casi cero (θ~0), provocando expresiones tales como:

cos    2  0

y

sen  

de esta manera, se obtienen las siguientes ecuaciones:

V
a) b)
Fig. 2. Diagramas de cuerpo libre por separado. Posteriormente encontramos sucentro de masa en ambos ejes para el péndulo.

 H  m  m y
V  mg

sen   u  M  cy  m   m cos   0 y 
por otra parte, tomando en cuenta que el cuerpo del péndulo tiene masa despreciable, I=0.

xG   cos  yG  sen
Descomponemos el sistema en sus dos elementos para examinar las fuerzas convenientes a cada uno [1]. La ecuación descriptiva de la sumatoria defuerzas en la Fig. 2. a), será:

 m  mg  m  y

 p 

  I  Vsen  H cos   P
y para la Fig. 2. b);

3.2

ECUACIÓN DE ESTADO

Tomando en cuenta los siguientes estados:

M  u  cy  H y 

(1)

x1  

;

 x2  

;

x3  y

;

x4  y 

Ahora se calcula H y V que intervienen dentro del péndulo, de esta manera se obtienen las siguientes dos...