Modelos matematicos

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE)
INTRODUCCIÓN
PE Es un problema de PL en el cual, algunas de las variables o todas, tienen que ser números enteros no negativos.

Un problema de PE en el cual todas las variables tienen que ser números enteros, se llama un problema de programación entera pura.

Ejemplo:
Max z = 3x1+2x2
s.a. x1+x2  6
x1,x2 0, x1,x2 entero

Si sólo algunas de las variablestienen que ser números enteros, se llama PE mixta
Ejemplo:
Max z = 3x1+2x2
s.a. x1+x2  6
x1,x2 0; x1 entero

Un problema de PE en el cual todas las variables deben ser 0-1 se llama PE 0-1.
Ejemplo:
Max Z = x1-x2
s.a . x1+2x2  2
2x1-x2  1
x1,x2 = 0 ó 1

Definición:
El PL que se obtiene al omitir todas las restricciones enteras ó 0-1 para las variables, se llama la relajaciónPL del PE.

Se puede considerar cualquier problema de PE como la relajación PL más algunas otras restricciones.

La relajación PL es una versión menos restringida, o más relajada, del PE.

La región factible para cualquier problema de PE tiene que estar incluida en la región factible de la relajación PL correspondiente.

Para cualquier problema de PE que es un problema de maximización setendrá que:

El valor óptimo de Z para la relajación PL > el valor óptimo de Z para el PE.

Ejemplo:

Max Z = 21x1+11x2
s.a. 7x1+4x2  13
x1,x20; x1, x2 entero

Región factible : S = {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1)} S no es un conjunto convexo.
Solución óptima x1 = 0 x2 = 3 Z=33.

Si la región factible para la relajación PL de un problema de PE es acotada, la regiónfactible del problema de PE estará formada por un número finito de puntos.


FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN ENTERA.
1. Se consideran 4 inversiones. La inversión 1 proporcionará un valor actual neto (VAN) de 16000 dólares; la inversión 2, un VAN de 22000 dólares; la inversión 3 un VAN de 12000 dólares y la inversión 4 un VAN de 8000 dólares.
Cada inversión requiere cierto flujo de cajaen el momento actual: la inversión 1, 5000 dólares; la inversión 2, 7000 dólares; la inversión 3, 4000 dólares y la inversión 4, 3000 dólares.
Se dispone de 14000 dólares para la inversión.
Formular un problema de PE para maximizar el VAN de las inversiones.

TAREA:
Añadir al modelo las siguientes restricciones:
Se puede invertir a lo más en dos inversiones.
Si se invierte en opción 2, setendrá que invertir en opción1.
Si se invierte en opción 2, no se podrá invertir en opción 4.

2. Una Compañía de ropa puede fabricar tres tipos de prendas: T1,T2,T3. Para poder fabricar cada tipo, debe disponer de la maquinaría adecuada. Se debe rentar la maquinaria de la siguiente manera:
Maquinaría para:
T1 $200/semana
T2 $150/semana
T3 $100/semana
Se dispone de150hrs. de trabajo a la semana y de 160m2 de tela.
La fabricación requiere de ciertas cantidades de tela y de trabajo:

Objetivo:
Maximizar ganancias:





3. Se desea construir estaciones de bomberos para atender 6 ciudades. El objetivo es el de construir el menor número de estaciones. Se desea asegurar que por lo menos una estación esté dentro de 15 minutos (tiempo de viaje) decada ciudad.

Se debe determinar en donde construir una estación.
Restricciones:
Una estación dentro de 15 minutos de cada ciudad.

Una sucursal bancaria requiere de 8 a 15 cajeros de servicio, dependiendo de la hora del día, como se muestra en la tabla:

Los cajeros de tiempo completo trabajan 8 horas consecutivas a $15.00 la hora, comenzando a las 8:00. Los cajeros de tiempo parcialtrabajan 4 horas consecutivas a $8.00 la hora, comenzando a las 8:00, 10:00 o 12:00. Las regulaciones sindicales requieren que a toda hora, al menos 60% de los cajeros sean de tiempo completo.

5. Una compañía vende rollos de papel a diversos vendedores al detalle. Sus rollos estándar tienen 20 pulgadas de ancho. Le han hecho pedidos de 1050 rollos de 3 pulgadas de ancho, 2050 rollos de 5...