Movimiento armonico simple

El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándosey acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.
Cinemática del movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple es un movimientoperiódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo .El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Es también,por ejemplo, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos dela cuerda.

Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.
Ecuación del movimiento
Elongación
En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo deleje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde es una constante positiva y es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en sentido contrario a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).
Aplicando la segunda ley de Newton, elmovimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial
(1)
Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:
(2)
La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma
(3)
donde:
es la elongación de la partícula.
es la amplitud del movimiento(elongación máxima).
es la frecuencia angular
es el tiempo.
es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como
(4) , y por lo tanto el periodo como
La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión .
Velocidad
Lavelocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

(5)
Aceleración
La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
(6)
Amplitud y fase inicial
La amplitud A y la fase inicial se pueden calcular a partir de lascondiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongación x0 y de la velocidad v0 iniciales.
(7)
(8)
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (4a) y (4b) obtenemos
(9)
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (4b) y (4a) obtenemos
(10)
Dinámica del movimiento armónico simple
En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es...