Mutaciones

SOLUCIÓN POR EL METODO GRAFICO

El modelo completo del problema es:
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Ahora sólo falta encontrar la combinación de productos cera y pasta expresados como toneladas de X1 y X2 que satisface todas las restricciones y también resulte en un valor máximo de la función objetivo, comparado con el valor de cualquier otra solución factible, lo que significa la solución óptima del problema.Este modelo matemático del problema es programación lineal, tiene una función objetivo y restricciones, todas con la característica especial de que son una función lineal de las variables de decisión.

Las funciones matemáticas en las cuales sólo una de las variables aparece elevada a la primera potencia como un término independiente, se conocen como funciones lineales. La función objetivo 4X1 +3X2 es lineal, porque cada una de las variables de decisión aparece en un término por separado con exponente 1. Si la función objetivo se presentara como 4X21 + 3X32, no se trataría de una función lineal. Por la misma razón, el número de toneladas de la materia prima 1 requerida, 2/5X1+1/2X2 , también es una función lineal de las variables de decisión. Similarmente, el lado izquierdo de todas lasdesigualdades de restricción son funciones lineales, así la formulación matemática del problema anterior se identifica como un programa lineal.
Solución gráfica
Un problema de programación lineal con sólo dos variables de decisión se puede resolver de manera gráfica sobre el espacio plano. Se inicia este procedimiento de solución desarrollando una gráfica que despliegue las posibles soluciones(valores X1 y X2) para el problema QUIMCAR. En la Figura 1-17 aparecen los valores de X1 sobre un eje horizontal y los valores de X2 sobre uno vertical. De esta manera se divide el plano o papel de trabajo, en cuatro espacios limitados por los ejes, formando así los cuadrantes 1, 2, 3 y 4. Cualquier punto de la gráfica puede quedar identificado por un par de valores X1 y X2, que representa laposición del punto con respecto de los ejes X1 y X2. Cada par (X1, X2) corresponde a un punto solución de esta manera se tendría una infinidad de ellos en el plano considerado. Pero para la solución particular en la que X1 = 0 y X2 = 0, se ubica un punto vértice identificado como origen para ambos ejes.
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Figura 1-17. Algunos puntos solución para el problema QUIMCAR.
El siguiente pasoes mostrar, qué puntos corresponden a soluciones factibles del programa lineal. Tanto X1 como X2 deben ser de valor no negativo, por lo que sólo es necesario considerar la porción de la gráfica en donde X1 >= 0 y X2 >= 0, lo que se conoce como primer cuadrante. En la Figura 1-18 las flechas indican el primer cuadrante, o sea, la región donde estos requisitos de no negatividad quedan satisfechospara la solución buscada.
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Figura 1-18. Gráfica del primer cuadrante. Cumple las restricciones de no negatividad ( >= 0 ).
Anteriormente se determinó la desigualdad que representa la restricción para la materia prima 1 es:
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Para mostrar todos los puntos solución que la satisfacen, se traza la línea que geométricamente representa a la ecuación lineal: 2/5X1 + 1/2X2, = 20 lacual debe ser recta, se calculan dos puntos pertenecientes a la misma y a continuación se traza una línea recta a través de los mismos. Para ello, arbitrariamente se buscan los puntos sobre los ejes en que, por supuesto, se tiene el valor de cero para una de las variables, así al hacer X1 = 0, se ubica sobre el eje X2 y resolviendo la ecuación en función de la variable X2, queda ½ X2 = 20, otambién X2 = 40; por lo tanto el punto (X1=0, X2=40) satisface la ecuación anterior, pues es la intersección de las rectas, eje X2 y la que representa el recurso 1; alternativamente, para encontrar un segundo punto que satisfaga esta ecuación se hace X2 = 0 y se resuelve en función de X1. Al hacerlo se observa que 2/5X1 = 20, es decir, X1 =50, por lo que un segundo punto que también satisface la...