Números reales

Numeros Reales

LOS NÚMEROS REALES
El método axiomático de introducción del sistema de los números reales, nos proporciona una base breve y adecuada para nuestros estudios de análisis.
Elsistema de números reales es un conjunto de R y dos operaciones, adición y multiplicación, y una relación de orden, denotada por “” y leída “es menor que”, que satisface los siguientes axiomas:
A1 Paratodo a y b en R, a + b Є R. (Estabilidad o “cerradura”).
A2 Para todo a y b en R, a + b= b + a. (Ley conmutativa).
A3 para todo a, b y c en R, (a + b) + c= a+ (b + c). (Ley asociativa).
A4 Hay unelemento y solo un elemento, al que denotamos por “0”, tal que para todo a en R, a + 0= a= 0 + a. (La existencia y unicidad del elemento neutro aditivo.)
A5 Para cada a en R, hay un y solo unelemento, al que denotamos por “-a”, tal que a+ (-a)= 0= -a +a. (La existencia y unicidad del inverso aditivo).
M1 Para todo a y b en R, ab Є R. (Estabilidad).
M2 Para todo a y b en R, ab= b a. (Leyconmutativa)
M3 Para todo a, b y c en R, (ab) c= a (bc). (Ley asociativa).
M4 Hay un solo elemento, al que denotamos por “1”, diferente de 0, tal que para todo a en R, a ∙ 1= a= 1 ∙ a. (Laexistencia y la unicidad del elemento neutro multiplicativo).
M5 Para cada a en R, diferente de 0, hay un y solo un elemento, al que denotamos por a-1, tal que a ∙ a-1= 1= a-1 ∙ a. (La existencia deunicidad del inverso multiplicativo).
D Para todo a, b y c en R, a (b + c)= ab + ac y (b + c) a = ba + ca. (Ley distributiva).
O1 Para cualesquiera dos elementos a y b en R una y solamente una de lassiguientes relaciones se verifica: a  b, a = b, b  a. (Ley de tricotomía).
O2 Si a  b y b  c, entonces a  c. (Ley transitiva)
O3 Si a  b, entonces, para todo c en R, a + c  b + c.
O4 Si a b y 0  c, entonces ac  bc.
L El axioma del supremo.

El sistema de los números reales R en un conjunto en el que hay dos operaciones y una relación que satisfacen los axiomas dados. Una...