Nociones basicas de grafos

Nociones Básicas Sobre Grafos

• Grafo: Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener cero o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vértices.
Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienenrestricción de relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc.
La notación G = (V, A) se utiliza comúnmente para identificar un grafo.
• Arista: Son las líneas con las que se unen los nodos de un grafo y con la que se construyen también caminos.
Si la arista carece de dirección se denotaindistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vértices que une.
Si {a ,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.
o Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.
o Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si el vértice inicial y el final son el mismo.
o Aristas Cíclicas: Arista que parte de unvértice para entrar en el mismo.
Vértice: Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo.
Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es par o impar según lo sea su grado.
o Vértices Adyacentes: Si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos una arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se diceque U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.
o Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.
o Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1.
• Caminos: Sean x, y vértices de un grafo G, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x , v1},{v1 , v2},...,{vn , y}. En este caso :
o x e y se llaman los extremos del camino.
o El número dearistas del camino se llama la longitud del camino.
o Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.
o Si hay un camino no simple entre dos vértices, también habrá un camino simple entre ellos.
o Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.
o Llamaremos ciclo a un circuito simple.
o Un vértice a se dice accesibledesde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo.
• Clasificación de grafos: Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco estárepresentado por un par ordenado de vértices, de forma que los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan dos arcos diferentes.

Grafo no dirigido
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Grafo dirigido
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• Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular. Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regular:
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•Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn. A continuación pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6:
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• Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados:
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• Grafo euleriano: Para definir un grafo euleriano es importante definir uncamino euleriano primero. Un camino euleriano se define de la manera más sencilla como un camino que contiene todos los arcos del grafo, apareciendo cada uno de ellos exactamente una vez.
Teniendo esto definido podemos hablar de los grafos eulerianos describiéndolos simplemente como aquel grafo que contiene un camino euleriano.
• Grafo conexo: Un grafo se puede definir como conexo si...