Notas de integrales

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Unidad 3 Actividad 1: Métodos de Integración.
LA REGLA DE SUSTITUCIÓN
La propósito de ésta regla es reemplazar una integral relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabopasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x. El reto principal en la aplicación de la regla de sustitución es pensar en una sustitución apropiada. Intente elegir u comoalguna función en el integrando cuya diferencial también esté presente. Si no es posible esto escoja u como alguna parte complicada del integrando. Encontrar la sustitución correcta conlleva algo dearte. No es raro que la primera conjetura sea errónea, si la suposición no funciona se debe intentar con otra. En general este método se usa siempre que tenemos una integral de la forma .
Si F' = fentonces = F[g(x)] + c porque la regla de la cadena de la derivación
F[g(x)] = F' [g(x)] . g' (x)
Si hacemos el "cambio de variable" o "la sustitución" u = g(x), entonces, tenemos
= F[g(x)] + c = F(u) +c = a bien si se escribe F' = f se obtiene
=
Se probó la siguiente regla:
REGLA DE SUSTITUCIÓN: Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo conjunto de imágenes es un intervalo I y f escontinua sobre I, entonces= .
REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos. Uno es evaluar primero la integralindefinida y, enseguida la segunda parte del teorema fundamental. Otra, que suele ser más preferible, es cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable.
Regla de sustitución paraintegrales definidas:
Si g´ es continua sobre [a, b] y f lo es sobre el conjunto de llegada de u = g(x) entonces
Demostración:
Sea F la primitiva de f. Entonces F[g(x)] es una antiderivada de f[g(x)]g'(x) con lo que
F[g(b)] - F[g(a)].
Pero si aplicamos nuevamente la segunda parte del teorema
= = F[g(b)] - F[g(a)].
En esta regla se afirma que cuando se usa una sustitución en una integral...
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