Numeros reales y algebra

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OPERACIONES Y PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como:
.

Números reales, son aquellos que poseen una expresión decimal.
Pueden ser descritos devarias formas, aparentemente simples, pero éstas carecen del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas.

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

* No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la que existe el conjunto de los númeroscomplejos donde estas operaciones sí están definidas.

* No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, enaquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.

La principal característica del conjunto de los números reales es la completitud, es decir, la existencia de límite para dadasucesión de Cauchy de números reales.

El conjunto de números reales, denotado por es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada una de las siguientes proposiciones:
1) Si , entonces (Cerradura en la suma)
2) Si , entonces (Conmutatividad en la suma)
3) Si , entonces (Asociatividad en la suma)
4) Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)
5) Para cada existe unelemento tal que (Inverso aditivo)
6) Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)
7) Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)
8) Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)
9) Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)
10) Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)
11) Si , entonces (Distributividad de la multiplicaciónen la suma)
12) Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
*
*
*
13) Si , y entonces (Transitividad)
14) Si y , entonces (Monotonía en la suma)
15) Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación)
16) Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma del supremo)

Los axiomas del 1 al 15 corresponden a laestructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue de otros cuerpos ordenados como.

ELEMENTOS DEL ALGEBRA

El álgebra elemental es una fundamental y relativamente básica forma de álgebra enseñada a los estudiantes que se presumen tienen poco o nada de conocimiento formal de las matemáticas más allá de la aritmética. Mientras que en aritmética solo ocurren losnúmeros y sus operaciones aritméticas elementales (como +, -, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números (como x, y, a y b). Éstos son llamados variables. Esto es útil porque:

* Permite la generalización de ecuaciones aritméticas (y de inecuaciones) para ser indicadas como leyes (por ejemplo para toda y ), y es así el primer paso al estudio sistemático de las propiedadesdel sistema de los números reales.
* Permite la referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una variable puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la formulación y la manipulación de las ecuaciones.
* Permite la exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades.

Estas tres son los hilos principales...
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