Numeros reales

4.5-. Números reales
Fue en el año 1872 cuando cinco matemáticos (Weierstrass, Heine, Cantor y
Dedekind) dieron con la definición formal de número real. Tanto la definición
axiomática como la delas clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy, son
laboriosas y artificiales. El origen de los números reales es más sencillo: Q es un
cuerpo incompleto, necesitamos de otros números pararepresentar ciertas medidas y
magnitudes “no racionales”; que los pitagóricos de la antigua Grecia llamaban
“incomensurables” y nosotros hoy día llamamos “números irracionales”3. Números que,
como sunombre indica, no pueden expresarse como una fracción.
El problema fundamental de estos matemáticos griegos fue el de la medida de la
diagonal del cuadrado de lado 1; dicha diagonal, por el teorema depitágoras, es “raíz
de 2”.
Teorema: Raíz de dos es un número irracional.
Dem. La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabará en algo
contradictorio. Si no esirracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a
una fracción así:
Podemos suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir,
que no tienen factorescomunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y
operando queda:
Por tanto p2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir,
p = 2k para uncierto k. Sustituimos este valor de p en la expresión anterior y simplificamos un 2
de esa igualdad:
Esa expresión nos asegura que q2 es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Y aquí está elabsurdo: habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes (es decir, mcd(p,q) = 1) y
hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común, y
por tanto su mcddebe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos.
Estos números formaban una categoría más bien imprecisa, debido a que los
sistemas de numeración de la época no resultaban ser los más...