Numeros reales

1CAPÍTULO 1 :

LOS NÚMEROS REALES

1.1.- INTRODUCCIÓN Desde los inicios de la Humanidad, se hizo necesario algún sistema de manejo de cantidades y de tamaños. En la medida que las sociedades humanas se van desarrollando, este problema se hace más y más importante. El problema comienza, desde luego, por la identificación y por lo tanto la designación de las cantidades en su lenguaje. El modelomás simple de cantidad es, sin duda, el de cantidad discreta , es decir, los números naturales: probablemente la primera actividad matemática del ser humano fue el contar . Experimentos realizados con animales domésticos demuestran que estos son capaces de distinguir, digamos contar, los primeros cuatro o cinco números naturales. Esta habilidad sin duda también la tenían los primates de laespecie homo sapiens que dieron origen a nuestra civilización. Pero no necesariamente más desarrollada que estos animales domésticos, como lo demuestra el descubrimiento de la tribu de los Fayu, en Papúa Occidental (Nueva Guinea). Este pueblo no tiene en su lengua más que tres palabras para designar números: satu (uno), dua (dos) y tiga (tres). Las cantidades mayores son indicadas con gestos o conpalabras que aluden a muchos. Su modo de vida no les ha obligado (hasta ahora) a una mayor precisión de cantidades. Por contraste, los pueblos de la antigua Mesopotamia y Egipto, así como los Maya en nuestro continente desarrollaron un sistema de numeración y de manejo de cantidades bastante notable y sofisticado. Como punto de referencia en que esto ocurría, diremos que el primer calendario sumerioencontrado data del año 5.700 AC y los ladrillos grabados de los babilonios datan de alrededor del año 2.000 AC., mientras que el sistema de numeración maya ha sido fechado en el siglo tercero antes de cristo. Es claro que el desarrollo del comercio y la agricultura en estos pueblos obligó a desarrollar a su vez un sistema de numeración y de manejo de números. Los ladrillos sumerios muestran unmanejo bastante avanzado de las operaciones algebraicas (el “álgebra babilónica”), que incluía el cálculo de interés compuesto, cálculos con pesas y medidas, ecuaciones cuadráticas y otros. También es claro que el solo manejo de los

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números naturales no fue suficiente: probablemente desde un principio los mercaderes babilónicos se vieron en la necesidad de modelar la noción de división y porlo tanto del desarrollo y manejo de fracciones. Las operaciones con estos números es cualquier cosa menos trivial. Estamos tan adiestrados desde nuestra niñez a manejar (por desgracia, mecánicamente) las operaciones con fracciones que no nos damos cuenta de la tremenda dificultad conceptual que encierran. Pero son los griegos de la época clásica (y un poco antes) quienes demuestran lainsuficiencia de las fracciones para modelar tamaños: un buen modelo de tamaño tendría que contemplar la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa. Se atribuye a la escuela pitagórica el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos. Nótese que, si nos quedamos con las fracciones como modelo, entonces, tomando el largo de un cateto como unidad, el largo de lahipotenusa quedaría fuera del modelo, es decir, el modelo no nos daría un tamaño exacto. Los pitagóricos posiblemente han razonado del siguiente modo para demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos: Supongamos que 2 es una fracción, digamos p/q, donde podemos suponer que p y q son primos relativos, es decir, no tienen factores comunes (si lo tuvieran, bastaría con simplificarlos). Sielevamos al cuadrado, obtenemos que p 2 = 2q 2 , por lo tanto p 2 es par. Pero si el cuadrado de un número es par, el número mismo debe ser par (los cuadrados de los impares son impares, como lo demuestra la fórmula (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 ). Por lo tanto p es de la forma 2n con lo que

p 2 = 4n 2 = 2q 2 . Simplificando por dos, resulta: q 2 = 2 p 2 , es decir, q también debe ser par: pero esto...