Numeros reales

Números reales y sus propiedades.
(Notas redactadas por A. DIEGO y M. I. PLATZECK para el curso de Matemática General) Los números naturales 1, 2, 3, ... , han sido creados por el hombre para contar los objetos de conjuntos finitos, el número natural n es una medida de la cantidad de objetos de un conjunto. Pero es necesario medir o comparar también longitudes, áreas, volúmenes, pesos,cantidades de calor, de electricidad, etc.. Para este tipo de cantidades sabemos decidir cuándo dos de ellas son equivalentes o iguales, mediante experiencias apropiadas. (Dos varillas que se pueden hacer coincidir son iguales en longitud, dos cuerpos que equilibran una balanza de platillos son iguales en peso, etc.). Se sabe además sumar dos cantidades de una misma especie y subdividir una cantidad dadaen n partes iguales. De ahora en adelante, consideraremos el problema de medir cantidades en el caso de longitudes. El problema de precisar la noción de medida o longitud de un segmento se presentó tempranamente a los geómetras griegos hace unos 25 siglos. Dado un segmento OU que se considerará como unidad de medida y otro segmento PQ, puede ocurrir que PQ se pueda partir en n segmentos iguales aOU; en este caso n es la medida o longitud del segmento PQ (con respecto a la unidad OU ). Q P

O

U

Naturalmente, la circunstancia anterior es casual. En general, OU no “cabrá un número exacto de veces” en PQ. Subdividamos ahora la unidad OU en m partes iguales. Se dice que cada una de estas partes 1 (submúltiplos de OU) tiene longitud igual a . Si se tiene un segmento PQ que puede m 1 ndividirse en exactamente n partes iguales de longitud , se dice que la longitud de PQ es . m m 7 En el ejemplo de la siguiente figura, la longitud de PQ (con respecto a la unidad OU ) es . 5 U O P En la figura siguiente, el segmento AC es el segmento suma de los segmentos AB y BC. A B C OBSERVACIONES: 1) Es claro que si se subdivide la unidad OU en m partes iguales y luego cada una de ellas en ppartes iguales, la unidad OU quedó subdividida en m ⋅ p partes, de modo que la 1 . Necesitaremos entonces p segmentos consecutivos de medida de cada una de ellas es m⋅ p esa medida para obtener uno de los segmentos resultantes de la primera subdivisión, es decir que: 1 p = . m m⋅ p
1

2) Una consecuencia importante de la observación anterior es que r r⋅ p = m m⋅ p r ya que ella nos dice que si lamedida de un segmento es respecto de la unidad OU, es m 1 decir que el mismo puede dividirse en r partes iguales de longitud , es claro que también m 1 . podrá dividirse en r ⋅ p partes iguales de longitud m⋅ p p 3) Otra consecuencia inmediata es que si en la figura siguiente, la medida de AB es y la m q p+q de BC es entonces la medida de AC es . m m A B C Como resultado de las observacionesanteriores es fácil verificar que, si respecto de la unidad m r m⋅s + r ⋅n OU, la medida de AB es y la de BC es , entonces la de AC es . n s n⋅s m r m⋅s r ⋅n m⋅s + r ⋅n . Esto es: + = + = n s n⋅s n⋅s n⋅s Por otro lado, puede también verificarse que si la medida de un segmento CD con relación a r m y la medida de AB en relación con la unidad OU es , la medida de CD la unidad AB es s n 4 r ⋅m r m r⋅m ,(esto es ⋅ = ). Por ejemplo, las partes de un segmento en relación a OU es 5 s⋅n s n s⋅n 2 4 2 8 que mide tiene longitud ⋅ = . 3 5 3 15 Históricamente, los números racionales han surgido de la necesidad de medir distintos tipos de cantidades y las operaciones entre ellos (suma y producto) aparecieron naturalmente en la forma que se indica en el párrafo anterior. Dado un segmento OU, puedepreguntarse si cualquier segmento PQ tiene una medida racional con respecto a la unidad OU, en la forma indicada antes, es decir, si hay algún submúltiplo de OU que “quepa exactamente” un número entero de veces en PQ. La respuesta es negativa y fue dada por los matemáticos Pitagóricos de la manera que veremos a continuación: La hipotenusa OP de un triángulo rectángulo isósceles ∆OPU no tiene medida...