Numeros

NUMEROS ENTEROS:
Definición:
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal.
Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación deprofundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros
Y se denotan Z: [∞…-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5∞]
OPERACIONES:
Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos sobre los númerosnaturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:
a + x = b
Para la incógnita x.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS:
Propiedades de clausura
Si, existen tales que:

Y, de esto,

De la clausura de la adición sobre, se sigue, por definición, que

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad
* Para cualesquiera
Lo mismo cumple lamultiplicación sobre:
* Para cualesquiera
Propiedades asociativas
Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:
* Para cualesquiera
y
* Para cualesquiera
Propiedades conmutativas
Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera ,tenemos que
* Para cualesquiera
Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:
* Para cualesquiera
Propiedad distributiva
Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos
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| | . |
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Por tanto se cumplela siguiente propiedad distributiva
* Para cualesquiera
Existencia de elementos neutros
El cero, 0 = [(n,n)], , tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],

Y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos , de donde , por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre . En
* para todo .términos más sencillos,
Sedefine como sigue:
.
Vemos que, para todo entero [(a,b)],

y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre . Es decir,
* para todo pt.
a+b _ c
Existencia de elemento opuesto
* Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , que cumpleobviamente la propiedad anterior:

Unicidad del elemento opuesto
Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:

En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.Propiedades cancelativas
Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:

Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa
* Para todo .
Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y portanto , con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y ab = ac con . Tenemos que ab − ac = 0, y de la propiedad distributiva a(b − c) = 0, o sea que b − c = 0, lo que demuestra que b = c.
Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente:
* Para todo , con...