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Número complejo. Raiz enesima
Respuesta de
bocasmar
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paula2701
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Matemáticas
13/09/2007
12/09/2007paula2701, usuario preguntando en Matemáticas
Usuario

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www.sistemaieu.edu.mx/maestriasz=4+2i y w=-2+4i
Tengo que hallar las 4 raices cuartas de -z^2.w^2
z^2=12+16i y w^2=-12-16i entonces w^2=-(z^2) y quedaría raiz cuarta de z^4.
Está bien lo que hice? Cómo sigo para hallar las 4raices cuartas?
12/09/2007
paula2701, experto respondiendo en Matemáticas
Experto

Hola,

Sí, lo que has hecho está bien.
Este problema tiene una respuesta fácil.
Si tienes que obtener lasraíces de z^4 y sabes que z=4+2i. No hay nada más sencillo.
Obviamente ya tienes la primera de las raíces: z1=z=4+2i.
Las otras tres se obtienen girando z1 a la izquierda tres veces.
La segunda raiz z2se calcula girando z1 a la izquierda un ángulo igual a Pi/2.
La tercera raiz z3 se calcula girando z2 a la izquierda un ángulo igual a Pi/2.
La cuarta raiz z4 se calcula girando z3 a la izquierda unángulo igual a Pi/2.
Esto puede parecer compicado... pero girar un número complejo un ángulo igual a Pi/2 a la izquierda es equivalente a multiplicar por i (la unidad imaginaria).
Por tanto las otrastres raíces son: z2=z1·i = -2+4i, z3=z2·i = -4-2i; z4=z3·i = 2-4i.
Esto ocurre así porque este problema está preparado para que así sea.
De modo general las "n" raíces enésimas de un númerocomplejo se calculan obteniéndo en primer lugar su módulo y su argumento.
Supongamos z=a + bi con módulo m y argumento A.
Entonces la primera de sus raíces enésimas tiene módulo m1=(m)^(1/n) (raíz enésimade m) y argumento A1=A/n.
El resto de las raíces enésimas tienen el mismo módulo y sus argumentos se distribuyen de forma regular en un arco de 2·Pi.
Así la segunda raíz tiene módulo m2 = m1...