Números Reales

1

NÚMEROS REALES

Página 27
REFLEXIONA Y RESUELVE
El paso de
■

ZaQ

Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es
necesario el conjunto de los números racionales, Q.
a) –5x = 60

b) –7x = 22

c) 2x + 1 = 15

d) 6x – 2 = 10

e) –3x – 3 = 1

f) – x + 7 = 6

Se pueden resolver en
Hay que recurrir a

El paso de
■

Z a), c), d) y f).Q para resolver b) y e).

QaÁ

Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones:
a) x 2 – 9 = 0

b) 5x 2 – 15 = 0

c) x 2 – 3x – 4 = 0

d) 2x 2 – 5x + 1 = 0

e) 7x 2 – 7x = 0

f) 2x 2 + 3x = 0

a) x 2 – 9 = 0 8 x = ±3
b) 5x 2 – 15 = 0 8 x 2 = 3 8 x = ± √3
c) x 2 – 3x – 4 = 0 8 x =

3 ± √9 + 16
3±5
=
=
2
2

4
–1
—

—

d) 2x 2 – 5x + 1 = 0 8 x =

5 ± √17
5 ± √25 – 8=
=
4
4

5 + √17
—
4—
5 – √17
—
4

e) 7x 2 – 7x = 0 8 x 2 – x = 0 8 x = 0, x = 1
f) 2x 2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –

Unidad 1. Números reales

3
2

1

Números irracionales
■

Demuestra que √2 es irracional. Para ello, supón que no lo es: √2 =

p
. Eleva
q

al cuadrado y llega a una contradicción.
Supongamos que √2 no es irracional. Entonces, sepodría poner en forma de fracción:

√2 =

p
p2
8 2 = 2 8 p 2 = 2q 2
q
q

En p 2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición de
factores primos de p 2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q 2. Por tanto, en 2q 2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplir
la igualdad.
Suponiendo que √2 =

p
llegamos a una contradicción:
q“p 2 = 2q 2, pero p 2 no puede ser igual a 2q 2”.
Por tanto, √2 no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.

■

Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones
F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado.
1
F–1

F

F
1
=
8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0
1
F–1
—

F=

1 ± √1 + 4
=
2

1 + √5
—
2—
1 – √5
—(negativo)
2

Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F =

2

√5 + 1
2

.

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

P ágina 28
1. Sitúa los siguientes números en el diagrama:

)

3

3

√3 ; 5; –2; 4,5; 7, 3; – √6 ; √64 ; √–27 ; √–8
Á

Q

Z

Á

N

Q

—
√3

)
7,3
4,5

3—
– √6

Z

N

5
—
√ 64 = 8

–2

—
√ –8

—
√–27 = –3

32. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada número puede estar en más de una casilla.
NATURALES,
ENTEROS,

N

Z

RACIONALES,
REALES,

Q

Á

NO REALES

Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla.
NATURALES,
ENTEROS,

N

REALES,

Á

NO REALES

Unidad 1. Números reales

—

3

—

5; –2; √ 64; √ –27

Z

RACIONALES,—

5; √ 64

Q

)

3

—

—

5; –2; 4,5; 7, 3; √ –27; √ 64
—

)

3

—

—

3

—

√ 3; 5; –2; 4,5; 7,3; –√6; √ 64; √ –27
—

√ –8

3

P ágina 29
3. Representa los siguientes conjuntos:
b) [4, + @)

a) (–3, –1)

a)
c)

–3

b)

–1 0
3

0

6

d) (– @, 0)

c) (3, 9]
0

4

d)

9

0

4. Representa los siguientes conjuntos:
a) { x / –2Ì x < 5}

b) [–2, 5) « (5, 7]

c) (– @, 0) « (3, + @)

d) (– @, 1) « (1, + @)

a)

–2

c)

0
0

b)

5

–2

d)

3

0

5

7

01

Página 30
1. Halla los siguientes valores absolutos:
a) |–11|

b) |π|

c) |– √5|

d) |0|

e) |3 – π|

f) |3 – √2|

g) |1 – √2 |

h) |√2 – √3 |

i) |7 – √50 |

a) 11

b) π

c) √5

d) 0

e) |3 – π| = π – 3

f)|3 – √ 2 | = 3 – √ 2

g) |1 – √ 2 | = √ 2 – 1

h) | √ 2 – √ 3 | = √ 3 – √ 2

i) |7 – √ 50 | = √ 50 – 7

2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a) |x| = 5

b) |x| Ì 5

c) |x – 4| = 2

d) |x – 4| Ì 2

e) |x – 4| > 2

f ) |x + 4| > 5

a) 5 y –5
c) 6 y 2

d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]

e) x < 2 o x > 6; (– @, 2) « (6, + @)

4

b) – 5 Ì x Ì 5;...