Operaciones con Fracciones Algebr icas

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
Iniciación al Cálculo
Operaciones con fracciones algebraicas

Presentación
Al realizar operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación se puede escribir una expresión de manera equivalente de diferentes maneras. Para realizar este tipo de operaciones se
requiere un manejo adecuado de las reglas de las pontencias, de la radicación,de las fracciones, entre otras.
El módulo tiene los siguientes objetivos:
Objetivo general
Aplicar las reglas básicas para operar con las fracciones algebraicas e identificar las similitudes con las
reglas aplicadas a fracciones aritméticas.
Objetivos específicos
Identificar dentro de una fracción algebraica los términos semejantes que se puedan simplificar.
Utilizar las propiedades de losexponentes para simplificar fracciones algebraicas.

Los conceptos expuestos y los ejercicios planteados son básicos para comprender conceptos fundamentales
del Cálculo y de las Matemáticas en general.
El tiempo estimado para la solución del taller es de tres (3) horas.
En su estudio y solución le deseamos muchos éxitos.

1. Operaciones con fracciones algebraicas
Para determinar las fracciones algebraicases necesario recordar la definición de polinomio: Una exprexión de la forma P(x) = an xn + an−1 nxn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 es un polinomio si n ∈ Z + , en donde
1

an , an−1 , ..., a1, a0 son constantes. Si an ̸= 0 el grado de P(x) es n.
Ejemplos
a. x + 1 es un polinomio de grado 1.
1

b. x 2 + x + 2, no es un polinomio. La potencia

1
2

∈
/ Z+ .

c. x−1 + 3x2 + 2x − 2, no es un polinomio.La pontecia −1 ∈
/ Z+.
d. 2x3 − x2 + 12 x + 1, es un polinomio de grado 3.
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Si P(x) y Q(x) son dos polinomios y Q(x) ̸= 0,
P(x)
entonces Q(x) es una fracción algebraica.
Al realizar operaciones con fracciones algebraicas, en las que las variables están definidas en los números
reales, se deben de tener en cuenta los valores de las variablesque hacen cero (0) los denominadores que
se encuentren en la expresión.
Ejemplo
1
+ x2x−1 , en el primer término, si se reemplaza la x por el valor 2, se tiene un cero (0) en el
En la suma x−2
denominador, por lo tanto x no puede tomar el valor de 2. En el segundo, el denominador se puede escribir
como x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), por lo que x no puede tomar los valores de 1 y −1.

Video: en laexpresión

1
x2 −4

x
+ x2 −x−6
, encuentre los valores de x que hacen cero (0) los denominadores.

Ejercicio
2

− x2x−9 , los valores de x que haEn la expresión x22x
−2x
cen cero (0) los denominadores son
a. 3, 2
b. -3, 2, 0, 3
c. 0, 2, 3
d. -3, 2, 3

1.1. Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica, cuando es posible, se factoriza el numerador y el denominador yse cancelan los factores comunes.
2

Ejemplo
Simplificar

x2 +x−12
.
x2 −x−6

Solución

.

✘ + 4)
(x✘
−✘
3)(x
x+4
x2 + x − 12 (x − 3)(x + 4) ✘
=
=
=
✘
✘
2
x −x−6
(x − 3)(x + 2) ✘
(x✘
− 3)(x + 2) x + 2

Observe que x no puede tomar los valores de 3 y −2, pues el denominador se hace cero (0) para estos
valores.
Observaciones
Para simplificar fracciones algebraicas tenga en cuenta las siguientesrecomendaciones:
a. Cuando sea posible, comience por factorizar el numerador y el denominador.
b. Se comparan los resultados y se simplifican los factores cumunes.
c. Desde el momento en que se factoriza, se tienen en cuenta los ceros (0) en el denominador. El resultado
es válido para todos los valores de x, menos para los que el denominador es cero (0).
Ejemplo
Simplificar x−2
2−x . En este caso, seobserva que en el numerador y en el denominador aparecen los mismos
términos con signos contrarios. Por lo tanto, se puede factorizar el signo en alguno de ellos.
Solución
✘
(2✘
−✘x)
x − 2 −(−x + 2) −(2 − x) −✘
=
=
=
= −1
✘✘
✘
2−x
2−x
2−x
2−
x

En este caso, x no puede tomar el valor de 2, pués el denominador sería cero (0) y en los numeros reales R,
la división por cero no está definida.

1.2....