Parábola de una ecuación

Parábola de una ecuación.

Ya conocemos que la gráfica de una función cuadrática [pic]con [pic], es una parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición.
  Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con un plano, comose hizo en la antigüedad. Ya conocemos que la gráfica de una función cuadrática [pic]con [pic], es una parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición.
 
|  | Definición |
|  |Una parábola es el conjunto de puntos [pic]en el plano queequidistan de un punto fijo |
| |[pic](llamado foco de la parábola) y de una recta fija [pic](llamada la directriz de la parábola)|
| |que no contiene a [pic](figura 1). |

 
[pic]

PARÁBOLA.

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de talo manera que su distancia de una recta fija situadaen el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija directriz.

La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje focal, la intersección de la parábola con el eje focal se denomina vértice. La cuerda focal es el segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasapor el foco, en nuestra gráfica, esta es el lado recto.

Los elementos de una parábola son entonces: vértice, foco, longitud del lado recto, y la ecuación de la directriz. Nosotros estudiaremos únicamente las parábolas con ejes focales paralelos al eje X o al eje Y. La distancia del vértice a la directriz es la misma distancia del vértice al foco.

Teorema:

La ecuación de una parábola devértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: (y - k)² = 4p(x - h) y sus elementos son los siguientes:

•Foco(h + p, k)
•Directriz x = h – p
•Eje focal y = k
•Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice.
•Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha.
•Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el eje es paralelo aleje Y la ecuación es de la forma (x - h)² = 4p(y - k) y sus elementos son:

•Foco (h, k + p)
•Directriz y = k – p
•Eje focal x = h
•Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.
•Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
[pic]
Figura 1.
El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola.Se puede observar enla figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.
 
Programa Interactivo
En este programa, puede arrastrar los puntos rojos con el mouse. La directriz es la línea azul y el foco es el punto con la etiqueta "F"
 
 
|  | Teorema (ecuación canónica de la parábola) |
|  |La forma canónica de la ecuación de unaparábola con vértice [pic]y directriz [pic]es |
| |[pic] |
| |  |

 

El eje de la parábola es vertical y el foco [pic]está a [pic]unidades (orientadas) delvértice. Si [pic], la parábola abre hacia arriba y el foco está en [pic]; si [pic],  la parábola abre hacia abajo y el foco está en [pic].
Si la directriz es [pic](eje horizontal), la ecuación es
[pic]

El eje de la parábola es horizontal y el foco [pic]está a [pic]unidades (orientadas) del vértice. Si [pic], la parábola abre hacia la derecha y el foco está en [pic]; si [pic],  la parábola abre...