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NÚMEROS Y FIGURAS
Conteo de figuras:
Las figuras a, b, c, y d presentan todas ellas una misma característica, la de ser triángulos, pero no son idénticos, pues se diferencian en sus tamaños y en sus ángulos, sin embargo esto no nos debe importar:

a

b

c

d

Si queremos contar triángulos, solo nos interesará la forma de esta figura. Este es el principio fundamental de estos problemasIng/PF: Romel Jimenez Montes De Oca

Ejemplo: ¿Cuántos triángulos puedes observar en la siguiente figura? A

B C

D

E

Podemos contestar de dos formas 1ra.- Si utilizamos los vértices para identificarlos tendremos los siguientes triángulos: ABE, ABC, ACD, ADE, ABD, y ACE
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FORMULAS PARA CASOS NOTABLES A) SEGMENTOS SOBRE UNA LINEA: Figura ModeloFormula #s = n(n – 1) 1 2 3 n 2
#s = número de segmentos n = # Puntos sobre la línea En la figura se nota que n = 6 por lo tanto habrá 6x5 = 15 segmentos 2
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A manera de comprobación, con el método combinatorio tenemos: A B C D AB,BC,CD,DE,EF AC,BD,CE,DF AD,BE,CF AE,BF y AF E F

15 Segmentos

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B) TRIANGULOS SOBREUNA LINEA: Formula. #t = n (n - 1) n 2 #t = Nro de Triángulos n: # de puntos sobre la base. En la figura mostrada: n = 5 #t = 5x4 2

#t = 10

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C) CUADRILATEROS SOBRE UNA LINEA: Formula: # c = n (n - 1) n 2 #c = Nro de cuadriláteros n: # de puntos sobre la base Para la figura n = 5 hay 5 x 4 #c= 10 cuadriláteros 2

Ing/PF: Romel Jimenez Montes De OcaD) CUADRILATEROS EN UN ENREJADO: FORMULA #c = n (n-1) . m (m-1) 2 2 n m n: # de puntos en la base m: # de puntos sobre un lado Vemos que n = 5 y m = 4 entonces 5x4 . 4x3 2 2 #c = 10 x 6 #c = 60 cuadriláteros
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E) CUADRADOS EN UN CUADRADO: Fórmula: 4 # s = 12 +22 +……+n2 3 la figura modelo debe ser 2 un cuadrado de nxn donde n 1 2 3 4 n es el # de casilleros porlado. Para n = 4 # s = 12 +22 +32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 1 6 # s = 30

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CORTES Y POSTES
Por inducción elemental se puede obtener una relación entre el número de cortes que se debe aplicar a una varilla y el número de partes iguales en que quedará dividida. L a b c c b c a b c 1 corte 2 cortes 3 cortes 2 partes 3 partes 4 partes

En General:
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# de cortes = partes - 1

Una relación parecida se establece por analogía cuando se colocan postes o estacas a lo largo de un camino, por ejemplo: 4 postes a a # postes = # partes – 1 3 partes En cualquier caso se cumple: # partes = Longitud Total Longitud de una parte a

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Cuando los cortes se hacen sobre una longitud cerrada,como por ejemplo una circunferencia, la relación entre cortes y postes es aún más sencilla.

2 cortes 2 partes

3 cortes 4 cortes 3 partes 4 partes # de cortes = # partes

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Ejemplo sobre cortes: A una soga de longitud L se le hacen 9 cortes y se obtienen pedazos de 5 metros cada uno. ¿Cuántos cortes deben hacerse para conseguir partes del mismo tamaño enuna soga de longitud 2L? Solución:
Para la soga de longitud L: 9 = # partes – 1 de aquí se deduce que son 10 partes y L = 10x5= 50. La otra soga de longitud 2L = 100 y si queremos partes de 5 metros cada una, debemos hacer: 100 - 1 = 20 – 1 = 19 cortes 5
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Ejemplo de postes: Se electrifico una avenida de 400 metros de largo de modo que los postes en una cercaestán ubicados cada 25 metros y en la otra acerca cada 40 metros ¿Cuántos postes se usaran? Solución: 25 25 25 25 En la 1ra acerca

# postes = 400 + 1 = 17 25 En la 2da acerca # postes = 400 + 1 = 11 40 En total de usaron : 17 + 11 = 28 postes.
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40

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En conclusión
El número de cortes será igual a: #Cortes = LT - 1 LU El número de postes será...