Polinomio de tylor

Alvaro Forte

Polinomio de Taylor 2008

POLINOMIO DE TAYLOR Supongamos f : R  R una función con derivadas hasta orden m+1 continuas se sigue del teorema de Taylor que: m f ' a  f   a m f ( x)  f  a    x  a    x  a   Rm  x  m! 1! donde Rm  x  es llamado resto del Taylor de orden m y viene dado por cada una de las

siguientes formula: f  m 1   m 1 Rm  x   x  a  m  1!

conocida como formula del resto de Lagrange.

Rm  x   
a

x

f  m 1  t  m!

x  t

m

dt conocida como forma integral del Resto.

Este algoritmo lo que hace es darnos un método para simular una función o aproximarnos su valor mediante una función polinomio y no da una formula del error cometido. Esto nos da varios ajuste de aproximación a la funcióncomo mostraremos a continuación:
f ( x)  f  a 

aproximación por una constante. f ' a  1!
f ' a  1! f ' a  1!

f ( x)  f  a  
f ( x)  f  a   f ( x)  f  a   una cúbica. 

 x  a
 x  a   x  a 

aproximación por una recta.
f  2  a  2! f  2  a  2!

 x  a  x  a

2

aproximación por una cuadrática. f  3  a  3!

2



 x  a

3aproximación por

El efecto de estas sucesivas aproximaciones las podemos ilustrar el el grafico siguiente donde f  x   senx y su grafica es la curva de color negro y las otras curvas de colores correspondes a aproximaciones por polinomios de Taylor de diferentes grados.

1

Alvaro Forte

Polinomio de Taylor 2008

Ejercicio:

Determine el grado de los polinomios en la grafica.Supongamos que tenemos una aproximación cuadrática de una función f ( x)  f  a   f ' a  1!

 x  a 

f  2  a  2!

 x  a

2

 PT2  x 

entonces en un entorno de a podemos hacer uso de esta aproximación PT2  x  para encontrar valores críticos locales de la función f , veamos los siguientes hechos:

PT2  X  x

 f ' a   f 

2

 a  x  a 

y 2 PT2  X  x
2

 f  2  a 

 f ' a   Los valores críticos locales de la cuádrica es PT2  a   2  y para discriminar si es  f a     2 un máximo o mínimo vemos el signo de f  a  , la regla es si f  2  a   0 estamos e presencia de un mínimo local y si f  2  a   0 estamos ante un máximo local. Ahora si en un entorno   a    x  R// x  a    el errorcometido por la cuádrica de Taylor

2

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Polinomio de Taylor 2008

de

f

cumple que Rm  x   

tenemos que si

 f 'a   a   2     a  entonces  f a   

 f 'a  f  a   2  es casi un valor crítico y en caso de existir en   a  un valor critico  f a   
 f ' a   de la función f se cumple que  valor _ critico _ de _ f   f  a  2    .  f a   

Con estos resultados en mente comenzamos nuestro estudio sobre funciones de múltiples variables. Sea f : R n  R una función de varias variables con derivadas parciales continuas hasta de orden m+1 entonces si 1k , ,  nk denotan números naturales tales que para todo k
natural se cumple que 1k     nk  k , x   x1  xn  y a   a1  an  son vectores deldominio de f entonces por Taylor tenemos:
 k f a 1 1 k  nk f (x )  f  a         k  ! !  x1k  x nk  x1  a1   xn  an  k 1  1 k nk 1k n 1 nk
m

   Rm  x   

donde Rm  x  es llamado resto del Taylor de orden m y viene dado por cada una de las siguientes formula:
Rm  x    m1 f   1    1m 1  m1  ! ! x xnm1  x1  a1  1m1  xn an  nm1 1 k  nk 1m 1 nm 1 1 n

donde    x a  a   y  R n / y  a  x  a  conocida como formula del resto de
Lagrange.
Rm  x    m 1 f   1    m1  ! !  x1m1  xnm1  x1  1  1m1   xn  n  nm1 d1 dn 1 k  nk 1m 1 nm 1   xa  a  1 n

conocida como forma integral del Resto. Estas formulas del resto a veces son difíciles de...