POLINOMIO

POLINOMIOS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha
Publicado en [Octubre de 2010] en mi sitio
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POLINOMIOS

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

ÍNDICE

Definición de Polinomio …………………………………………………………………. 3Operaciones con polinomios …………………………………………………………….. 4
Suma …………………………………………………………………………….… 4
Resta …………………………………………………………………………….… 5
Multiplicación …………………………………………………………………….. 6
División ………………………………………………………………………….... 7
Polinomios Divisibles ……………………………………………………………………. 8
Esquema de Ruffini …………………………………………………………………….... 8
Teorema del Resto ……………………………………………………………………….. 9
Teorema de Descartes…………………………………………………………………… 10
Raíces de un polinomio ………………………………………………………………….. 11
Cómo obtener una fórmula a partir de un dato expresado en forma verbal o gráfica …… 11
Raíces evidentes …………………………………………………………………………. 12
Cómo hallar la raíz de un polinomio de 1º grado ………………………………………... 12
Cómo hallar las raíces de un polinomio de 2º grado …………………………………….. 12
Cómo hallar las raíces de unpolinomio de 3º grado …………………………………….. 12
Teorema de Descomposición Factorial ………………………………………………….. 13
APÉNDICE ……………………………………………………………………………… 14
Función Lineal y Función Cuadrática …………………………………………….. 15
Relaciones entre Raíces y Coeficientes de un polinomio de 2º grado ……………. 16
Raíces comunes a dos polinomios ………………………………………………… 17

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POLINOMIOS

Escrito por Prof. A. Rodrigo FarinhaDefinición de Polinomio

P ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ......... + a2 x 2 + a1 x + a0

an , an −1 , ....... , a2 , a1 , a0 ∈ R
an ≠ 0
n∈ N

n

es el grado del polinomio

an x n , an −1 x n −1 , ......... , a2 x 2 , a1 x , a0

son los términos del polinomio

an , an −1 , ......... , a2 , a1 , a0

son los coeficientes del polinomio

an

es el coeficiente principal delpolinomio

a0

es el término independiente del polinomio

Ejemplos
A( x) = −2 x3 + 6 x 2 + x − 5

C ( x) = 7 x5 + 2 x 4 − 6 x 2 + 14 x

B( x) = − x 2 + 3x + 2

grado
3
grado
coeficientes
-2 6 1 -5 coeficientes
coeficiente principal -2
coeficiente principal
término indep.
-5
término indep.

2
-1 3 2
-1
2

grado
coeficientes
coeficiente principal
término indep.

5
7 2 0− 6 14 0
7
0

Algunos conceptos básicos
Grado de un polinomio:

es el mayor exponente de la variable x (es el n)

Polinomio nulo:

P ( x ) = 0 (todos sus coeficientes valen 0 y no tiene grado)

Polinomio completo:
Polinomio incompleto:

ninguno de sus coeficientes vale 0 (“tiene todos sus términos”). Ej: A y B
por lo menos uno de sus coeficientes vale 0 (“faltan términos”). Ej: CA los polinomios se los denomina con letras mayúsculas.

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Operaciones con polinomios

SUMA
Se suman los coeficientes de los términos de igual exponente.

Ejemplos:

1) A( x) = −5 x 3 + 3x 2 − 20 x + 12
B( x) = x3 − 5 x 2 − 5 x − 1
A( x) + B( x) = ( −5 x 3 + 3x 2 − 20 x + 12 ) + ( x 3 − 5 x 2 − 5 x − 1)
A( x) + B( x) = −5 x3+3x 2 −20 x +12 + x 3 −5 x 2 −5 x − 1 =
A( x) + B( x) = −4 x3 −2 x 2 −25 x +11
A( x) + B( x) = −4 x 3 − 2 x 2 − 25 x + 11
2) A( x) = 6 x 3 + 8 x 2 − 2 x + 5
B( x) = −4 x 3 − 8 x 2 + 4
A( x) + B( x) = ( 6 x 3 + 8 x 2 − 2 x + 5 ) + ( −4 x 3 − 8 x 2 + 4 )
A( x) + B( x) = 6 x3 + 8 x 2 − 2 x +5 −4 x 3 −8 x 2 +4
A( x) + B( x) = 2 x 3 + 0 x 2 −2 x +9
A( x) + B( x) = 2 x 3 − 2 x + 9

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RESTA
Se le suma al primer polinomio el opuesto al segundo.
A − B = A + (− B)
siendo − B el polinomio opuesto de B

Ejemplos:

1) A( x) = −5 x3 + 3 x 2 − 20 x + 12
B( x) = x3 − 5 x 2 − 5 x − 1
A( x) − B( x) = ( −5 x3 + 3 x 2 − 20 x + 12 ) − ( x3 − 5 x 2 − 5 x − 1)
A( x) − B( x) = ( −5 x3 + 3 x 2 − 20 x + 12 ) + ( − x3 + 5 x 2 + 5 x + 1)...