Polinomios

POLINOMIOS
La teor´ de ecuaciones est´ basada en el Algebra de Polinomios y, de lo que hemos
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a
visto sobre algebra elemental, el estudiante ya posee cierta familiaridad con los pro´
cesos de sumar, restar, multiplicar y factorizar polinomios sobre R. Todas las reglas
operacionales mencionadas en secciones anteriores son utilizadas para manipular estos
polinomios. En esta secci´nqueremos formalizar un poco m´s estas nociones, estuo
a
diar el algoritmo de la divisi´n para polinomios y luego volver a estudiar la resoluci´n
o
o
de ecuaciones e inecuaciones a trav´s de un estudio elemental sobre ceros de polinomios.
e
´
DEFINICION 1: Un polinomio (o funci´n polinomial) en una variable sobre R, es una
o
expresi´n de la forma
o
a 0 + a 1 x + a2 x 2 + . . . + a n x n ,n∈N

(1)

donde a0 , a1 , a2 , . . . , an son constantes reales y la variable x toma valores en R.
OBSERVACIONES
1) Para 0 ≤ i ≤ n, las expresiones ai xi las llamaremos los t´rminos del polinomio
e
y los elementos ai los coeficientes de los correspondientes xi
2) Para representar polinomios utilizaremos expresiones tales como:
a(x), b(x), . . . , p(x), q(x), r(x), etc..
´
DEFINICION 2: Seap(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn un polinomio sobre R. Entonces:
i) si an = 0, diremos que p(x) es un polinomio de grado n(∈ N) y lo escribiremos:
gr(p(x)) = n,
al n´mero an lo llamaremos el coeficiente principal de p(x) y, en particular, si
u
an = 1 diremos que p(x) es m´nico;
o
ii) Si ai = 0 para cualquier i = 0, 1, . . . , n , entonces diremos que p(x) es el polinomio cero (opolinomio nulo) y lo denotaremos tambi´n por 0(x).
e
OBSERVACIONES:
1) En general, cualquier n´mero real puede ser considerado como un polinommio
u
de grado cero y, en tal caso, los llamaremos polinomios constantes. Adem´s, al
a
t´rmino a0 en (1) lo llamaremos el t´rmino constante de p(x).
e
e
2) Usaremos la notaci´n:
o
R[x] : = {p(x)/p(x) es un polinomio en x sobre R}
= {p(x) ∈ R[x] |gr(p(x)) ≤ n}
Pn :
´
DEFINICION 3: Dados dos polinomios
p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ,
q(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm ,
diremos que p(x) y q(x) son iguales ssi:
i) m = n (igual n´mero de t´rminos).
u
e
1

Departamento de Matem´tica
a
ii) ai = bi

MAT-021

afg/mev/mjm

∀i = 0, 1, . . . , n (iguales coeficientes).

NOTA: Dos polinomios cualesquiera pueden escribirse con elmismo n´mero de t´rmiu
e
nos. Por ejemplo, si en Def. 3 se tuviera que m < n, entonces
q(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm = b0 + b1 x + . . . + bm xm + 0xm+1 + . . . + 0xn .
As´ la siguiente definici´n es completamente general.
ı,
o
´
DEFINICION 4: Sean

p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , y
q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bn xn ,

dos polinomios en x sobre R. Entonces:
i) Lasuma de p(x) y q(x) es el polinomio:
p(x) + q(x) = a0 + b0 + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + . . . + (an + bn )xn
ii) El negativo de q(x) es el polinomio:
−q(x) = (−b0 ) + (−b1 )x + (−b2 )x2 + . . . + (−bn )xn
= −b0 − b1 x − b2 x2 − . . . − bn xn .
iii) La resta p(x) − q(x) es el polinomio: p(x) + (−q(x))
´
DEFINICION 5: Sean:

p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
q(x) = b0 + b1 x + b2x2 + . . . + bm xm

dos polinomios en x sobre R. El producto de p(x) y q(x) es el polinomio:
p(x) · q(x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + . . . +
+(an bm )xm+n .
u
Es decir, el coeficiente de xi en p(x) · q(x) es el n´mero:
a0 bi + a1 bi−1 + . . . + ai−1 b1 + ai b0 .
NOTA: Para efectuar la multiplicaci´n de dos polinomios resulta util el arreglo sio
´
2
3guiente que aplicamos a la multiplicaci´n de p(x) = 1+2x−x +x por q(x) = 1−2x+x2 :
o
1 + 2x - x2 + x3
1 - 2x + x2
1 + 2x - x2 + x3
[Mult. por 1
2
3
4
- 2x - 4x + 2x - 2x
[Mult. por −2x
x2 + 2x3 - x4 + x5
[Mult. por x2
p(x) · q(x) =
[Suma
1
- 4x2 + 5x3 - 3x4 + x5
OBSERVACIONES: Proponemos al estudiante verificar que (R[x], +, ·) satisface los axiomas 1 al 5 que dimos para (R, +, ·)...