Polinomios

POLINOMIOS
La teor´ de ecuaciones est´ basada en el Algebra de Polinomios y, de lo que hemos ıa a visto sobre algebra elemental, el estudiante ya posee cierta familiaridad con los pro´ cesos de sumar, restar, multiplicar y factorizar polinomios sobre R. Todas las reglas operacionales mencionadas en secciones anteriores son utilizadas para manipular estos polinomios. En esta secci´n queremosformalizar un poco m´s estas nociones, estuo a diar el algoritmo de la divisi´n para polinomios y luego volver a estudiar la resoluci´n o o de ecuaciones e inecuaciones a trav´s de un estudio elemental sobre ceros de polinomios. e ´ DEFINICION 1: Un polinomio (o funci´n polinomial) en una variable sobre R, es una o expresi´n de la forma o a 0 + a 1 x + a2 x 2 + . . . + a n x n , n∈N (1) donde a0 , a1, a2 , . . . , an son constantes reales y la variable x toma valores en R. OBSERVACIONES 1) Para 0 ≤ i ≤ n, las expresiones ai xi las llamaremos los t´rminos del polinomio e y los elementos ai los coeficientes de los correspondientes xi 2) Para representar polinomios utilizaremos expresiones tales como: a(x), b(x), . . . , p(x), q(x), r(x), etc.. ´ DEFINICION 2: Sea p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .+ an xn un polinomio sobre R. Entonces: i) si an = 0, diremos que p(x) es un polinomio de grado n(∈ N) y lo escribiremos: gr(p(x)) = n, al n´mero an lo llamaremos el coeficiente principal de p(x) y, en particular, si u an = 1 diremos que p(x) es m´nico; o ii) Si ai = 0 para cualquier i = 0, 1, . . . , n , entonces diremos que p(x) es el polinomio cero (o polinomio nulo) y lo denotaremos tambi´npor 0(x). e OBSERVACIONES: 1) En general, cualquier n´mero real puede ser considerado como un polinommio u de grado cero y, en tal caso, los llamaremos polinomios constantes. Adem´s, al a t´rmino a0 en (1) lo llamaremos el t´rmino constante de p(x). e e 2) Usaremos la notaci´n: o R[x] : = {p(x)/p(x) es un polinomio en x sobre R} = {p(x) ∈ R[x] | gr(p(x)) ≤ n} Pn : ´ DEFINICION 3: Dados dospolinomios p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn , q(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm , diremos que p(x) y q(x) son iguales ssi: i) m = n (igual n´mero de t´rminos). u e
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Departamento de Matem´tica a ii) ai = bi ∀i = 0, 1, . . . , n (iguales coeficientes).

MAT-021

afg/mev/mjm

NOTA: Dos polinomios cualesquiera pueden escribirse con el mismo n´mero de t´rmiu e nos. Por ejemplo, si en Def. 3 se tuvieraque m < n, entonces q(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm = b0 + b1 x + . . . + bm xm + 0xm+1 + . . . + 0xn . As´ la siguiente definici´n es completamente general. ı, o ´ DEFINICION 4: Sean p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , y q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bn xn ,

dos polinomios en x sobre R. Entonces: i) La suma de p(x) y q(x) es el polinomio: p(x) + q(x) = a0 + b0 + (a1 + b1 )x + (a2+ b2 )x2 + . . . + (an + bn )xn ii) El negativo de q(x) es el polinomio: −q(x) = (−b0 ) + (−b1 )x + (−b2 )x2 + . . . + (−bn )xn = −b0 − b1 x − b2 x2 − . . . − bn xn . iii) La resta p(x) − q(x) es el polinomio: p(x) + (−q(x)) ´ DEFINICION 5: Sean:

p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm xm

dos polinomios en x sobre R. El producto de p(x) y q(x) es elpolinomio: p(x) · q(x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + . . . + +(an bm )xm+n . u Es decir, el coeficiente de xi en p(x) · q(x) es el n´mero: a0 bi + a1 bi−1 + . . . + ai−1 b1 + ai b0 . NOTA: Para efectuar la multiplicaci´n de dos polinomios resulta util el arreglo sio ´ 2 3 guiente que aplicamos a la multiplicaci´n de p(x) = 1+2x−x +x por q(x) = 1−2x+x2 : o 1 + 2x - x2 + x31 - 2x + x2 1 + 2x - x2 + x3 [Mult. por 1 2 3 4 - 2x - 4x + 2x - 2x [Mult. por −2x x2 + 2x3 - x4 + x5 [Mult. por x2 p(x) · q(x) = [Suma 1 - 4x2 + 5x3 - 3x4 + x5 OBSERVACIONES: Proponemos al estudiante verificar que (R[x], +, ·) satisface los axiomas 1 al 5 que dimos para (R, +, ·) y donde los elementos neutros para la suma y el producto son los mismos (0 y 1).

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Departamento de Matem´tica...