polinomios

Polinomios primos: Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores, es decir, no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos ellos tengan grados menores.
Ej: P(x) = x2 + x + 1
Teorema general del polinomio: El teorema general establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene una raízcompleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero, en otros términos, podría decirse que dado un polinomio complejo de grado, la ecuación tiene exactamente soluciones complejas, contando multiplicidades.
Sea un polinomio de grado .Es una función entera. Para cada constante positiva , existe un número real positivo tal que

Si no tiene raíces, la función , es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real mayor que cero, existe un número positivo tal que

Concluimos que la función es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si es una función entera y acotada, entonces, esconstante y esto es una contradicción.
De manera que no es entera y por tanto tiene al menos una raíz. se puede escribir por tanto como el producto

Donde es una raíz de y es un polinomio de grado . Por el argumento anterior, el polinomio a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente.
Repitiendo este proceso veces, concluimos que el polinomio p puede escribirse comoel producto

Donde ... son las raíces de (no necesariamente distintas) y es una constante.

Métodos de los coeficientes indeterminados: Este método se utiliza a Ecuaciones Diferenciales lineales, con coeficientes constantes, no homogéneos. Sea L (D) y = f(x) una ecuación diferencial lineal, no homogénea, de coeficientes constantes y de orden n. Si f(x) tiene una de las siguientesformas: a) f(x) = k, k constante b) f(x) = polinomio en x c) f(x) = exponencial de la forma d) f(x) = e) f(x) = a sumas finitas de productos finitos de las expresiones anteriores. Método de coeficientes indeterminados. Este es un método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, éste sólo se aplica a una clase restringida de ecuaciones. No obstante, la ventaja consiste en que, cuando este métodoes el pertinente, por lo general es más fácil de emplear que los otros métodos.

División sintética o método de Ruffini: Es aquel método que facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio. Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»). El Algoritmo de Hornerpara la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo.
División de

Entre

Utilizando la regla de Ruffini.
1. Se escribe y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

2. Multiplicando por la raíz r(=-1):

3.Sumando la columna:

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:


Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces
, donde
y
Criterio de divisibilidad por x-a : La divisibilidad hace referencia a la posibilidad de dividir a un número entre otro de forma exacta. Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x - a es necesario que sutérmino independiente sea múltiplo de a.
Ejemplo: Sea el polinomio P(x) = x3-x2-4x +4 Los posibles divisor de la forma( x-a) con a numero entero son los siguientes:
• a = 1 → ( x-1) y como la división es exacta→ ( x-1) divisor de p(x)
• a = 2→ ( x-2) y la división es exacta→ ( x-2) divisor de p(x)
• a = 4→ ( x- 4) y la división no es exacta, resto= 36
• a = -1→ ( x+1) y la división no es...