Polinomios

Polinomios
Pablo De N´apoli
versi´on 0.8.5
Resumen
Este es un apunte de las te´oricas de ´algebra I, del primer cuatrimestre de 2007, turno noche, con algunas modificaciones introducidas
en 2014.

1.

Introducci´
on

Hist´oricamente el ´algebra surgi´o del estudio de las ecuaciones algebraicas.
Por ejemplo, consideramos la ecuaci´on
X 2 = 5X − 6
donde X es un n´
umero desconocido que queremosdeterminar (“una indeterminada”). Una estrategia para resolverla, consiste en pasar de t´ermino
todos los t´erminos a un mismo miembro de la igualdad, para obtener una
ecuaci´on igualada a cero:
X 2 − 5X + 6 = 0
Esta es una ecuaci´on cuadr´atica de las que se estudian en la escuela
secundaria. Una expresi´on tal como la que aparece en el primer miembro de
esta ecuaci´on:
P (X) := X 2 − 5X + 6
que seobtiene sumando potencias no negativas de X multiplicadas por
n´
umeros, se denomina un polinomio en la indeterminada X. Resolver la
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Notas de Algebra
I - c 2007-2014 Pablo L. De N´apoli

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ecuaci´on consiste entonces en determinar los ceros o raices del polinomio,
es decir aquellos valores de X para los cuales el polinomio se anula.
Entonces la estrategia consiste en tratar de factorizar elpolinomio, esto
es expresarlo como producto de polinomios de grado m´as peque˜
no. En este
caso, esto puede usarse utilizando la t´ecnica de “completar el cuadrado”:
P (X) =

X−

5
2

2

−

25
+6=0
4

Utilizando entonces la factorizaci´on de una “diferencia de cuadrados”
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
obtenemos:
P (X) =
P (X) =

X−

5
X−
2
5 1
−
2 2

2

−

1
=0
4

X−

5 1
+
2 2

o
P (X) = (X − 2)(X −3)
Como para que el producto de dos n´
umeros sea cero alguno de los dos
debe ser cero, deducimos que el polinomio se anular´a exactamente cuando
X = 2 o cuando X = 3. Estas son pues, los ceros o raices del polinomio P .
As´ı pues, vemos que existe una importante conecci´on entre el problema
de encontrar los ceros o raices de un polinomio, y el problema de factorizarlo.
Exploraremos esta conecci´onm´as en detalle en lo sucesivo.

1.1.

Las estructuras algebraicas de anillo y de cuerpo

Nuestro primer objetivo ser´a dar una definici´on formal del concepto de
polinomio.
Consideraremos en lo sucesivo polinomios de distintos tipos, como por
ejemplo con coeficientes enteros como
3X 3 − 5X 2 + 10X − 2
con coeficientes racionales como

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X − X + 10
2
2
con coeficientes reales taales como
√
2
X2
−
X +π
2
2
o con coeficientes complejos tales como
(2 + i)X 2 − (3 − i)X + 1
Para poder tratar todos estos casos de una manera unificada, necesitaremos introducir la estructura algebraica de anillo. Informalmente, un anillo
es un conjunto A en el que est´an definidas de alguna manera las operaciones
de suma, resta, producto ymultiplicaci´on. Veamos una definici´on formal:
Definici´
on 1.1 Un anillo es un conjunto A donde est´an definidas dos operaciones 1
+:A×A→A
·:A×A→A
de modo que se verifiquen las siguientes propieades (axiomas de la estructura
de anillo):
1. Propiedad Asociativa de la suma:
(a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ A
2. Propiedad Conmutativa de la suma
a + b = b + a ∀ a, b ∈ A
1

Una operaci´
on tal como lasuma +, en un conjunto A, no es otra cosa que una funci´on
+ : A × A → A. Por convenci´
on, escribiremos
a+b
en lugar de +(a, b). Similarmente, escribiremos
a·b
en lugar de ·(a, b).

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3. Existencia de neutro para la suma Existe un elemento 0 ∈ A, tal que:
a+0=0+a=a∀a∈A
4. Existencia de inversos aditivos Para todo a ∈ A, existe un elemento
−a∈ A, tal que:
a + (−a) = (−a) + a = 0
Notamos que en cualquier anillo se puede definir la operaci´on de resta
a − b especificando que:
a − b = a + (−b)
5. Propiedad asociativa del producto
(a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ A
6. Existencia de elemento neutro para el producto Existe un elemento 1 ∈
A tal que
a·1=1·a=a
7. Propiedad Distributiva
a · (b + c) = a · b + a · c ∀ a, b, c ∈ A
(a + b)...