Popart modulo teselar

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Teselado

Un teselado visto en el pavimento de una Calle

Teselado Hexagonal de un Piso
Un teselado también es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:
1. que no queden huecos
2. que no se superpongan las figuras
Los teselados se creanusando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.
Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.
Es un error común referise al teselado como "teselación" lo cual es una traducción equivocada de la palabra en Inglés "tesellation". El único término correcto en español es "teselado".

Antecedentes históricos
*Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.
* Arquímedes en el siglo III a. C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano
* Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones delos llamados sólidos platónicos.
* Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan y el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de los llamados teselados.
* Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático H.S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Legó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

ángulos que concurren a un vértice
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Conceptos previos
* En un teselado plano la suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º.

* Unpolígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales.
* Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono.
* Un polígono es cóncavo si no es convexo
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Teselados regulares
Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y elhexágono.
Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.
Triángulos equilateros | Cuadrados | Hexágonos |
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Teselados semiregulares
Son aquellos que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Un teseladosemiregular tiene las siguientes propiedades:
1. Está formada sólo por polígonos regulares.
2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
3. Existen sólo 8 teselados semi-regulares
8 8 4 | 3 3 3 4 4 | 3 3 4 3 4 | 3 3 3 3 6 |
3 12 12 | 3 4 4 6 | 3 6 3 6 | 4 6 12 |
Teselados con figuras semi-regulares
8 8 4 | 3 3 4 3 4 | 3 3 3 3 6 | 3 12 12 |
3 4 4 6 | 3 6 3 6 | 4 6 12 | |-------------------------------------------------
Teselados no regulares
Son aquellos formados por polígonos no regulares
Cuadriláteros
Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero.
Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cóncavo esfácil de demostrar por elTeorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible [[Archivo:jorge calamardo y bob esponja
[editar]Triángulos
Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.

Hexágonos
Teselado de El Cairo...
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