Probabiliada condicionada

Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 3: Cálculo de Probabilidades

1. Se lanzan 20 monedas en las que la probabilidad de cara es de 0,6. Calcular cual es el número mas probable de caras y qué probabilidad hay de que salga dicho número.

SOLUCIÓN: El número de caras obtenido al lanzar 20 monedas es una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros B(20;0,6). El número masprobable de caras es 20 ⋅ 0,6 − 0,4 ≤ m ≤ 20 ⋅ 0,6 + 0,6 ⇒ 11,6 ≤ m ≤ 12,6 . Luego el número mas probable de caras es 12, y la probabilidad de 12 caras es:

20!  20  ⋅ 0,0022 ⋅ 0,0007 = 0,0202 P ( X = 12) =   ⋅ 0,612 ⋅ 0,4 8 = 12!⋅8!  12 

2. Sabiendo que P A probabilidad de A.

( I B) = 0,6) y

que la de la P(A

I B =0,2),

se pide calcular la

SOLUCIÓN:

P(A)= P[(A

I B)U (AI B )]= P(A I B) + P( AI B )=0,6+0,2=0,8

3. Supongamos que las cotizaciones de las acciones de Telefónica y Sniace son variables aleatorias independientes, y que la probabilidad de que un día cualquiera suban es del 70% para ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que un día suba sólo una de ellas?

SOLUCIÓN: Sea p1 la probabilidad de que suba Telefónica y p2 la de que suba Sniace. Laprobabilidad de que solo suba una de ellas será: p1 (1 - p2) + (1 – p1) p2 = 0,7 0,3 + 0,3 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42

4. Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A; que la probabilidad de su unión es doble que la de su intersección; y que la probabilidad

de su intersección es de 0,1. Se pide: 1) Calcular la probabilidad de A. 2) ¿Qué suceso es más probableque ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?.

SOLUCIÓN:

1) Sea P(A) = x; entonces: P(B)= 2X. Además P[A P[A P[A

U B] = 0,2 y P[A I B] = 0,1

U B] = P(A)+P(B)- P (AI B))=x+2x-0,1=3x-0,1 U B] = 3x – 0,1=0,2. despejando x=1

Por tanto P(A) = 0,1 y P(B) = 0,2. 2) Las probabilidades condicionadas serían: P(A/B)=

P( AI B) P( B)

=

0,1 = 0,5; 0,2

P(B/A)=

P( AI B ) P( A)

=0,1 =1 0,1

Por tanto es más probable que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A, que, que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.

5. La probabilidad de cara de dos monedas son 0,4 y 0,7. Calcular la probabilidad de que al lanzar las dos monedas salga sólo una cara. Repetir el ejercicio considerando que las monedas están bien construidas.

SOLUCIÓN: Para que salga solo una cara ha de ocurriruna de las dos cosas siguientes: que la primera moneda saque cara y la segunda cruz o viceversa:

P[(C I X ) U ( X I C )] = 0,4 ⋅ 0,3 + 0,6 ⋅ 0,7 = 0,12 + 0,42 = 0,54

Si las monedas están bien construidas las probabilidades de cara y cruz son iguales a 0,5; por tanto: P[(C I X ) U ( X

I C )] = 0,5 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5 = 0,5

6. Dos maquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200piezas. Se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide: 1) Probabilidad de que sea defectuosa. 2) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

SOLUCIÓN: Indiquemos por: MA = {la pieza procede de la maquina A} MB = {la pieza procede de la maquina B} Entonces Ω = {300 piezas} = MA + MB

Ρ (Μ Α ) =
1)

1 3

Ρ (Μ Β ) =2 3

Sea D = {la pieza defectuosa}

2 1 Ρ( D) = P ( D / M A ) ⋅ P( M A ) + P( D / M B ) ⋅ P( M B ) = (0,05) ⋅ + (0,06) ⋅ = 0,0567 3 3
2) Es la probabilidad de MA condicionada a la presencia de D

1 (0,05) ⋅ P( D / M A ) ⋅ P( M A ) 3 = 0,2941 P( M A / D) = = 0,0567 P( D / M A ) ⋅ P( M A ) + P( D / M B ) ⋅ P( M B )

7. Sea la urna U (2B, 3N, 4R). Extraemos tres bolas, una a continuaciónde la otra. La primera es negra, la segunda no se mira y la tercera es blanca. Hallar la probabilidad de que la segunda sea roja.

SOLUCIÓN: Una vez es extraída la primera bola que es negra, la urna es U(2B, 2N, 4R). Al extraer la segunda, pueden ocurrir tres casos: que sea blanca, negra o roja, obteniéndose tres urnas distintas, con probabilidad 1/4, 1/4 y 1/2 respectivamente. La tercera...