Problemas de optimización con resultados

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Y APLICACIÓN DE DERIVADAS
1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma.

Solución: Los sumandos han de ser e

2

y e . La suma será 2-2 ln2. 2

2. Calcula dos números positivos de modo que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno de ellos menosel inverso del otro sea máxima.

Solución: El que se invierte debe ser 1 y el otro 9.

3. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además afirma que el nivel de seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte delproducto del número de alarmas de tipo A instaladas por el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su nivel de seguridad?

Solución: 3 alarmas tipo A y 6 alarmas tipo B.

4. Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar obreros y comprar máquinas. El dueño de lafábrica ha estimado que si compra “x” máquinas y contrata “y” obreros, el número de unidades de producto que puede fabricar viene dado por la función: f ( x, y ) = 90 x ⋅ y 2 . Cada máquina le supone una inversión de 2500 € y cada contrato de un nuevo obrero le cuesta 1500 €. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 22500 € para este fin, determina el número de obreros que debe contratar y elnúmero de máquinas que debe comprar para maximizar la producción.

Solución: 3 máquinas y 10 obreros.

5. Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible?

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Solución: Las dimensiones han de ser100 m. y 100 m. (cuadrado).

6. Queremos vallar un terreno de forma rectangular que tenga una superficie de 400 metros cuadrados. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. ¿Qué dimensiones debemos dar a dicho terreno para que el coste de la valla utilizada sea mínimo? .

Solución: Las dimensiones del solar han de ser 20 m. y 20 m. (cuadrado).

7. Supongamos que el solar del problemaanterior tiene 200 metros cuadrados y uno de sus lados, a lo largo del río, requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Qué dimensiones darán el coste más bajo?

Solución: Las dimensiones del solar serán 15 m. para los lados que no queden pegados al río, y 40/3 m. para los otros dos lados (uno de los cuales lleva la valla más costosa).

8. Un aparejador sabe que el rendimientode los operarios de una constructora, a medida que avanza la jornada laboral, viene dado por R(t) = 30 - 10,5 t2 + t3, siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral ( 0 ≤ t ≤ 8 ). Determina cuándo se producen los rendimientos máximo y mínimo.

Solución: El máximo rendimiento se da para t = 0 y el mínimo para t = 7.

9. Una bióloga marina sabe que los ingresospor venta de ejemplares de “lubina” en una

planta de cultivo de peces es I(q)= 2000 q – 0,04 q2 y los costes de alimentación vienen dados por la función C(q)= 1.000.000 + 100 q + 0,001 q2, donde q = nº unidades de lubina. Halla: a) La función beneficio. b) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo?

Solución:

a) B(q) = I(q) – C(q)

b) 23171 lubinas10. Una bióloga está haciendo un cultivo de Escheritzia coli. Se sabe que el número de

bacterias varía con el tiempo (en días) de acuerdo con la siguiente función: N(t) = 50 (2 t3 -15 t2 + 36 t + 2). -. 2/7.-

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Se pide: a) ¿Cuántas bacterias había al principio? b) ¿Cuál es el número máximo de bacterias? ¿Cuándo se da?...