Procesos estocasticos

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Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas ISSN: 1988-1878 Procesos estocásticos: Introducción

PROCESOS ESTOCÁSTICOS: INTRODUCCIÓN
© Juan Mascareñas
Universidad Complutense de Madrid
Versión inicial: febrero 2006 - Última versión: marzo 2008

- Procesos estocásticos, 2
- Recorrido aleatorio de estado discreto y tiempo discreto, 4 - La generalización del proceso, 6 -Procesos estocásticos en tiempo continuo, 12

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Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas ISSN: 1988-1878 Procesos estocásticos: Introducción

1. Procesos estocásticos
Se denomina proceso estocástico1 a toda variable que evoluciona a lo largo del tiempo de forma total o parcialmente aleatoria. Un ejemplo, es la temperatura en Madrid, aumenta durante el día y baja durante lanoche; aumenta en el verano y desciende mucho en invierno (“nueve meses de invierno y tres de infierno”, que se dice del clima castellano); su variación es parcialmente determinística y parcialmente aleatoria (figura 1). Otro ejemplo, es la variación del precio de las acciones de Gamesa (figura 2), que evoluciona de forma aleatoria, pero a largo plazo tiene una tasa de crecimiento esperada positiva,que compensa a los inversores por el riesgo que corren al poseer el activo financiero.

Fig.1 Temperaturas máximas y mínimas en Madrid desde Marzo-2007 hasta Febrero-2008 [Fuente: NOAA, Climate Prediction Center]

rdto
8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% 1 -2,0% -4,0% -6,0% -8,0% -1 0,0% 1 2 23 34 45 56 67 78 89 1 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 33 44 55 66 77 88 1 21 221 232 243 99 0

Fig.2 Evolución delrendimiento diario de la acción de Gamesa durante el año 2007 [Elaboración propia]

La palabra estocástico se deriva del griego “stochazesthai”, que significa apuntar a un objetivo (“stochos”)

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Los procesos estocásticos pueden ser clasificados en: - Tiempo discreto:Cuando el valor de la variable sólo puede cambiar en una serie de momentos determinados del tiempo (por ejemplo, los sorteos de la lotería tienen lugar en determinadas fechas). - Tiempo continuo: Cuando el valor de la variable puede cambiar en cualquier momento del tiempo (la temperatura, por ejemplo). Otra forma de clasificar a los procesos estocásticos es: - Variable continua: La variable puedetomar cualquier valor comprendido en un rango (la temperatura, por ejemplo) - Variable discreta: La variable sólo puede tomar determinados valores o estados discretos (los mercados financieros cotizan sus activos con unos precios que oscilan: de céntimo de euro en céntimo de euro, o en 1/8 de punto, etc.). Formalmente hablando, un proceso estocástico se define por una ley de probabilidad que gobiernala evolución de una variable x (temperaturas, rendimientos, variación de los tipos de interés etc.) a lo largo de un horizonte temporal t. De tal manera que para diferentes momentos del tiempo t1 < t2 < t3... podemos obtener la probabilidad de que los valores correspondientes x1, x2, x3... se sitúen dentro de un rango específico como, por ejemplo: Prob [a1 < x1 ≤ b1] Prob [a2 < x2 ≤ b2] Prob [a3
Fig.3

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La temperatura en Madrid es un proceso estocástico estacionario, es decir, que laspropiedades estadísticas de esta variable son constantes durante largos períodos de tiempo. De tal manera que, aunque la temperatura esperada para mañana pueda depender en parte de la de hoy, la temperatura media esperada el 1 de Enero del próximo año y su varianza, casi no dependen de la temperatura de hoy, y su valor es igual al valor esperado de la temperatura del 1 de Enero del siguiente...
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