Procesos estocasticos

Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas
ISSN: 1988-1878
Procesos estocásticos: Introducción

PROCESOS ESTOCÁSTICOS:
INTRODUCCIÓN
© Juan Mascareñas
Universidad Complutense de Madrid
Versión inicial: febrero 2006 - Última versión: marzo 2008

- Procesos estocásticos, 2
- Recorrido aleatorio de estado discreto y tiempo discreto, 4
- La generalización del proceso, 6
-Procesos estocásticos en tiempo continuo, 12

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ISSN: 1988-1878
Procesos estocásticos: Introducción

1. Procesos estocásticos
Se denomina proceso estocástico1 a toda variable que evoluciona a lo largo del
tiempo de forma total o parcialmente aleatoria.
Un ejemplo, es la temperatura en Madrid, aumenta durante el día y bajadurante la noche; aumenta en el verano y desciende mucho en invierno (“nueve meses de invierno y tres de infierno”, que se dice del clima castellano); su variación es
parcialmente determinística y parcialmente aleatoria (figura 1). Otro ejemplo, es la
variación del precio de las acciones de Gamesa (figura 2), que evoluciona de forma
aleatoria, pero a largo plazo tiene una tasa de crecimientoesperada positiva, que
compensa a los inversores por el riesgo que corren al poseer el activo financiero.

Fig.1 Temperaturas máximas y mínimas en Madrid desde Marzo-2007 hasta Febrero-2008 [Fuente:
NOAA, Climate Prediction Center]

rdto
8,0%
6,0%
4,0%
2,0%
0,0%
1

1
2

23

34 45 56 67 78 89 1
00 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 22 33 44 55 66 77 88 1 21 221 232 243
99 0

-2,0%
-4,0%
-6,0%-8,0%
-1
0,0%

Fig.2 Evolución del rendimiento diario de la acción de Gamesa durante el año 2007 [Elaboración propia]

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La palabra estocástico se deriva del griego “stochazesthai”, que significa apuntar a un objetivo
(“stochos”)

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Los procesos estocásticos puedenser clasificados en:
- Tiempo discreto: Cuando el valor de la variable sólo puede cambiar en
una serie de momentos determinados del tiempo (por
ejemplo, los sorteos de la lotería tienen lugar en determinadas fechas).
- Tiempo continuo: Cuando el valor de la variable puede cambiar en cualquier momento del tiempo (la temperatura, por ejemplo).
Otra forma de clasificar a los procesos estocásticoses:
- Variable continua: La variable puede tomar cualquier valor comprendido
en un rango (la temperatura, por ejemplo)
- Variable discreta: La variable sólo puede tomar determinados valores o
estados discretos (los mercados financieros cotizan sus
activos con unos precios que oscilan: de céntimo de
euro en céntimo de euro, o en 1/8 de punto, etc.).
Formalmente hablando, un procesoestocástico se define por una ley de probabilidad que gobierna la evolución de una variable x (temperaturas, rendimientos,
variación de los tipos de interés etc.) a lo largo de un horizonte temporal t. De tal
manera que para diferentes momentos del tiempo t1 < t2 < t3... podemos obtener
la probabilidad de que los valores correspondientes x1, x2, x3... se sitúen dentro de
un rango específico como, porejemplo:
Prob [a1 < x1 ≤ b1]
Prob [a2 < x2 ≤ b2]
Prob [a3 < x3 ≤ b3]
Cuando se llegue al momento t1 y observemos el valor correspondiente de
x1, podemos condicionar la probabilidad de futuros sucesos a la luz de esta información (ver figura 3).

Fig.3

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La temperatura enMadrid es un proceso estocástico estacionario, es decir, que las propiedades estadísticas de esta variable son constantes durante largos
períodos de tiempo. De tal manera que, aunque la temperatura esperada para mañana pueda depender en parte de la de hoy, la temperatura media esperada el 1 de
Enero del próximo año y su varianza, casi no dependen de la temperatura de hoy, y
su valor es...