Procesos Estocasticos

Introducci´
on a los
procesos estoc´
asticos

Luis Rinc´on
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias UNAM
Circuito Exterior de CU
04510 M´exico DF

Enero 2012

Pr´
ologo
El presente texto contiene material b´
asico en temas de procesos estoc´asticos
a nivel licenciatura, y es producto del mejoramiento continuo de las notas de
clase que he utilizado para el curso de Procesos Estoc´asticosen la Facultad
de Ciencias de la Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico. Est´a dirigido a estudiantes de las carreras de Matem´aticas, Actuar´ıa, Matem´aticas
Aplicadas y otras carreras cient´ıficas afines. Una mirada al ´ındice de temas
le dar´
a al lector una idea de los temas expuestos y el orden en el que se
presentan. Cada cap´ıtulo contiene material que puede considerarse comointroductorio al tema, y al final de cada uno de ellos se proporcionan algunas referencias para que el lector pueda profundizar en lo que aqu´ı se
presenta.
La mayor parte de este trabajo fue elaborado mientras realizaba una estancia sab´
atica en la universidad de Nottingham durante el a˜
no 2007, y
agradezco al Prof. Belavkin su amable hospitalidad para llevar a cabo este
proyecto, y a la DGAPA-UNAM porel apoyo econ´
omico recibido durante
dicha estancia. Adem´
as, la publicaci´on de este trabajo ha sido posible gracias al apoyo otorgado a trav´es del proyecto PAPIME PE-103111. Agradezco
sinceramente todos estos apoyos recibidos y expreso tambi´en mi agradecimiento al grupo de personas del comit´e editorial de la Facultad de Ciencias
por su ayuda en la publicaci´on de este trabajo. Finalmente doylas gracias
por todos los comentarios que he recibido por parte de alumnos y profesores para mejorar este material. Hasta donde humanamente me sea posible
mantendr´e una versi´
on digital actualizada de este libro en la p´
agina web
http://www.matematicas.unam.mx/lars .
Luis Rinc´on
Enero 2012
Ciudad Universitaria, UNAM
lars@fciencias.unam.mx

Contenido
1. Ideas preliminares
1.1. Ejercicios . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
6

2. Caminatas aleatorias
7
2.1. Caminatas aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. El problema del jugador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Cadenas de Markov
3.1. Propiedad de Markov . . . . . . .
3.2. Ejemplos . . . . . . . .. . . . . .
3.3. Ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov
3.4. Comunicaci´
on . . . . . . . . . . . .
3.5. Periodo . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Primeras visitas . . . . . . . . . . .
3.7. Recurrencia y transitoriedad . . . .
3.8. Tiempo medio de recurrencia . . .
3.9. Clases cerradas . . . . . . . . . . .
3.10. N´
umero de visitas . . . . . . . . .
3.11. Recurrencia positiva y nula . . . .
3.12.Evoluci´
on de distribuciones . . . .
3.13. Distribuciones estacionarias . . . .
3.14. Distribuciones l´ımite . . . . . . . .
3.15. Cadenas regulares . . . . . . . . .
3.16. Cadenas reversibles . . . . . . . . .
3.17. A. A. Markov . . . . . . . . . . . .
iii

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58
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69
71
80
86
88
93

iv

Contenido
3.18. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4. El proceso de Poisson
4.1. Definici´
on . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Definiciones alternativas . . . . . .
4.3. Proceso de Poisson no homog´eneo
4.4. Proceso de Poisson compuesto . . .
4.5. Proceso de Poisson mixto . . . . .
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . ....