PRODUCTO 1 DISTRIBUCION NORMAL












Tutor: EDGAR ANTONIO MESA RINCON
Correo Electrónico: edamer918@gmail.com
Fecha: Octubre de 2015

DISTRIBUCION NORMAL

Uno de los más importantes ejemplos de una distribución de probabilidad continua, es la distribución normal, curva normal o distribución de gauss

La distribución Normal fue descubierta en el siglo XVIII, primordialmente por astrónomos, quienes observaron con asombro,como las mediciones repetidas una y otra vez de una cantidad (masa. Distancia, peso, estatura) tendían a variar, y que al recopilar una gran cantidad de estas mediciones en una distribución de frecuencias se tenía un perfil semejante a una campana.

CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL.
1. La curva normal es ACAMPANADA y presenta un solo pico en el centro de la distribución. La Media(aritmética) está localizada en el pico, de esta forma, la mitad del área bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central y la otra mitad por abajo.
2. La distribución normal es SIMETRICA con respecto a su media, si se corta la curva normal verticalmente en este valor central, las dos mitades se reflejaran como imágenes en un espejo.
3. La distribución de la normal decrece uniformemente enambas direcciones a partir del valor central. Es ASINTOTICA lo cual significa que la curva se acerca cada vez más al eje X pero en realidad nunca llega a tocarlo.



Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respectoal eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Distribución normal estándar N(0, 1)

La distribución normal estándar o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.



La probabilidad de la variable X dependerá delárea del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.


Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0,1).



Cálculo de probabilidades en distribuciones normales
La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variabletipificada.
Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).
Φ(k) = P(z ≤ k)


Búsqueda en la tabla de valor de k
Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
Centésimas en la fila de arriba.
P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)


P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)


P(Z > −a) = P(Z ≤ a)


P(a < Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)


P(−b < Z ≤ −a) = P(a < Z ≤ b)

Nos encontramos con el caso inverso a losanteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K.

P(−a < Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]


p = K

Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.


Aproximación de la binomial por la normal
Teorema de Moivre
Si:
n·p ≥ 0 y n·q ≥ 0.
La distribución binomialB(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal:




Ejercicios

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.


días


La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:


1. Entre 60 kg y 75 kg.


estudiantes


2. Más de 90 kg.

estudiantes


3. Menos de 64 kg.


= 1 – 0,9772 = 0,0228  0,0228 * 500 = 11 estudiantes


4. 64 kg.


5. 64 kg o menos.
estudiantes


Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación...