Productos notables y factorización

UNEFA TÁCHIRA CIU – 2008 Material con fines didácticos UNIDAD III: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN.

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Productos Notables: Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen

características especiales o expresiones particulares, cumplen ciertas reglas fijas; es decir, el su resultado puede se escrito por simple inspección sin necesidad de efectuarla multiplicación.

1. Cuadrado de una suma de dos términos o cantidades.

(a + b )2

= a 2 + 2ab + b 2

2. Cuadrado de una diferencia de dos términos o cantidades

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
3. Producto de una suma de dos términos por su diferencia.

(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
4. Producto de dos binomios que tienen un término en común.

(a + m)(a − m) = a 2 + (m + n )a + mn5. Producto de dos binomios de la forma:

(ax + c )(bx − d )

(ax + c )(bx − d ) = abx 2 + (ad + bc )x + cd
6. Cubo de un binomio.

(a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
• Binomio de Newton:

Elevar un binomio a una potencia entera y positiva. Siendo el binomio a + b, la multiplicación nos da:
2 2 2

(a + b ) = a + 2ab + b
3 3 2

(a + b ) = a+ 3a b + 3ab + b
4 4 3 2 2

2

3

(a + b ) = a + 4a b + 6a b + 4ab + b

3

4

Razonamiento Matemático Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

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UNEFA TÁCHIRA CIU – 2008 Material con fines didácticos En estos desarrollos se cumplen las siguientes leyes: 1) Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.

2) El exponente de a en el primer término deldesarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero, disminuye 1. 3) El exponente de b en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a éste, aumenta 1.

4) El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.

5) El coeficiente de cualquiertérmino se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de b en ese mismo término, aumentado en 1.

6) El último término del desarrollo es b elevada al exponente del binomio.

Todos estos resultados en conjunto constituyen la Ley del Binomio, que se cumple para cualquier exponente entero ypositivo, como lo probaremos en seguida.

Esta Ley general se representa por medio de la siguiente fórmula:
n (n − 1) a 1• 2 n (n − 1)(n − 2) n−3 3 a b 1• 2 • 3

(a + b ) = a + na

n

n

n–1

b+

n– 2

b +

2

+

n(n − 1)(n − 2)(n − 3 ) n − 4 4 a b + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ bn 1• 2 • 3 • 4

(1)

Esta fórmula descubierta por Newton nos permite elevar un binomio a una potenciacualquiera, directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores.

Razonamiento Matemático Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

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UNEFA TÁCHIRA CIU – 2008 Material con fines didácticos n • DESARROLLO DE (a - b ) : Cuando el segundo término del binomio es negativo, los signos del desarrollo son alternativamente + y -. En efecto:
n n

(a - b ) = [a + (- b )]
n

y al desarrollar[a + (- b )] los términos 2o., 4o., 6o., etc., de acuerdo con la fórmula (1) contendrán el segundo término (- b ) elevado a un exponente impar, y como toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa, dichos términos serán negativos, y los términos 3o., 5o., 7o., etc. contendrán a (- b ) elevada a un exponente par, y como toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, dichostérminos serán positivos. Por tanto, podemos escribir:

(a − b )n = an − nan −1b + n(n − 1) an −2b2
1• 2

−

n (n − 1)(n − 2) n −3 3 a b + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +(− b )n 1• 2 • 3

El último término será positivo si n es par y negativo si n es impar.

En el desarrollo de una potencia cualquiera de un binomio los denominadores de los coeficientes pueden escribirse, si se desea, como factoriales. De...