Programación lineal

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Capitulo 1

Programación lineal
Historia de la programación lineal

Se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las perdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Losfundadores de la técnica son George Dantzig, quien publico el algoritmo simplex, en 1947, John Von Neumman, que desarrollo la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y gano el premio nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachinyan, demostró que el problema de la programaciónlineal era resoluble en tiempo polinomial. Mas tarde, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituirá un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

El objetivo de la programación linear es encontrar las condiciones en que se maximiza la denominada función objetivo, una ecuación quedetermina, por ejemplo, el ingreso que se obtendrá produciendo determinadas mercancías; dicha función esta sujeta a ciertas restricciones, constituidas por un grupo de ecuaciones lineales que indican el consumo de los diversos factores productivos que se necesitan para obtener un determinado producto. De este modo se establece que pueden producirse ciertas cantidades de los bienes a, b,… etc., cada uno delos cuales produce un ingreso determinado. La programación lineal indica entonces la combinación óptima de bienes a producir para obtener el máximo beneficio a partir de un conjunto finito de recursos.

Es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, funciónobjetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión.

Los modelos de programación lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

Los modelos matemáticos se dividenbásicamente en modelos deterministas (md) o modelos estocásticos (me). En el primer caso (md) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los modelos estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa se enfocan solo enmodelos deterministas.

En resumen:

La programación lineal es una técnica de modelado (construcción de modelos).

La programación lineal es una técnica matemática de optimización, es decir, un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo.

Su interés principal es tomar decisiones óptimas.

Se usa mucho en la industria militar y en la petrolera. Si bien esos sectores han sidoquizá los principales usuarios de ella, el sector servicios y el sector publico de la economía también le han aprovechado ampliamente.

La estructura básica de un problema de programación lineal consta de una función objetivo por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.

Un problema de maximización

RMC Inc. es una pequeña empresa quefabrica una variedad de productos basados en sustancias químicas. En un proceso de producción particular, se emplean tres materias primas para producir productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo se vende a las compañías petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de compañías de...
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