Programacion lineal

GRAFICACION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL
* El uso de la solución gráfica se limita a problemas de dos variables. Para problemas con tres variables se trabaja en el espacio de tres dimensiones, podría aún graficarse pero con mayor dificultad. Es imposible determinar una gráfica para un problema de más de 3 variables.

* Permite determinar la región factible (espacio de solucionesfactibles) que satisface todas las restricciones en forma simultánea.

* El método gráfico permite conocer la base matemática de la solución de modelos lineales, los conjuntos convexos, y observar gráficamente situaciones que se presentan en modelos de cualquier tamaño. Esto ayuda a la comprensión de la Programación Lineal. Permite deducir conclusiones generales que sirven como base para eldesarrollo del método de solución general


PROCESO DE GRAFICACION

Problema:
Se necesita cartón corrugado de dos tipos en especial: plateado y dorado. Cada tipo de cartón requiere de un tiempo de proceso en 3 etapas y para cada etapa se tiene una cantidad fija de minutos disponibles.
Sabiendo que la ganancia por unidad de cartón plateado es $1 y del cartón dorado es $1.5 Determinar lacantidad de cada tipo de cartón a elaborar, haciendo el mejor uso del tiempo disponible.

Producto | Tiempo de Manufactura (minutos) |
| Corte | Pintado | Secado |
Cartón Plateado | 2 | 1 | 4 |
Cartón Dorado | 2 | 2 | 2 |
minutosdisponibles | 160 | 120 | 280 |

Variables de decisión: x1 = número de unidades del producto 1 x2 = número de unidades del producto 2
Funciónobjetivo: Max Z = x1 + 1.5x2 maximizar ganancias
Restricciones:
Sujeto a: 2x1 + 2x2 ≤ 160 (1) tiempo disponible Corte
x1 + 2x2 ≤ 120 (2) tiempo disponible Pintado
4x1 + 2x2 ≤ 280 (3) tiempo disponible Secado
x1 , x2 > 0 (4)* condición de no negatividad
* Iniciar la graficación de restricciones como si se trataran de igualdades, luego de representarla recta, determinar hacia qué región diversos valores de las variables cumplen la desigualdad (> ó <).

* La condición de no negatividad (*) limita los valores de la región factible al primer cuadrante.

* El conjunto de todos los valores no negativos que asuman las variables de decisión satisfaciendo todas las restricciones conforma la región factible.

* Para graficar larecta de la función objetivo establecerla como una ecuación en cuyo lado derecho tenga un valor arbitrario (se recomienda un múltiplo de los coeficientes de las variables) que le permita mostrarse en la región factible.

* Desplazar paralelamente la FO en la dirección que incremente su valor (si está maximizando) o disminuya su valor (si está minimizando). El punto o los puntos extremos quetoque la recta antes de salir totalmente fuera de la región factible determinarán el óptimo, o solución del modelo.

* Cualquier punto sobre la recta de la función objetivo obtiene el mismo valor, pero solo uno (que es el caso más común) es el punto que determina la solución óptima (aquel determinado en el paso anterior).









Fig.2 Restricciones (1) y (2).Nótese que el área sombreada es la común de las dos restricciones.

Fig.1 Graficación de la restricción (1).























Fig.4 Región factible y función objetivo. Véanse los diversos valores de z. El segmento se desplaza hasta el vértice de la región factible que permite maximizar su valor (punto 5).
Fig.3 Area común para las tresrestricciones. Cualquier punto perteneciente a ésta región obtiene valores de x1 y x2 que cumplen con todas las restricciones.







Según la Fig.4 el punto óptimo es el punto 5 que tiene como coordenadas x1 = 40 y x2 = 40 siendo ésta la solución óptima que determina un valor óptimo de 100 al reemplazar estos valores en las variables de la función objetivo.
Si el punto óptimo no tuviera...