Programacion lineal

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Problemas resueltos de programación lineal
1
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetasdebe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?
1Elección de las incógnitas.
x = número de pantalones
y = número de chaquetas
2Función objetivo
f(x,y)= 50x + 40y
3Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
| pantalones | chaquetas | disponible |
algodón | 1 | 1,5 | 750 |
poliéster | 2 | 1 | 1000 |
x + 1.5y ≤750 2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemosgráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
2·0 + 3·0 ≤ 1 500
Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.
De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.
2·0 + 0 ≤ 1 00
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituyeel conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas:
2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)
2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

6 Calcular el valor de la función objetivo
Enla función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) = 50x + 40y
f(0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 €
f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 €
f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 €    Máximo
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

Problemas resueltos de programación lineal
2
Una compañía fabrica y venden dos modelos delámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener elmáximo beneficio.
1Elección de las incógnitas.
x = nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2
2Función objetivo
f(x, y) = 15x + 10y
3Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
| L1 | L2 | Tiempo |
Manual | 1/3 | 1/2 | 100 |
Máquina | 1/3 | 1/6 | 80 |
1/3x + 1/2y ≤ 1001/3x + 1/6y ≤ 80
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x +1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100
1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es...
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