Programacion no lineal

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Conceptos Básicos De Problemas De Programación No Lineal (PNL)

Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o des economías de escala oen general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.

Formulación del problema

El problema de programación no lineal puede enunciarse de una forma muy simple:

Métodos de resolución del problema

Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un poli topo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bienconocidos algoritmos de programación lineal.
Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa

Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas deprogramación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor límite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas.Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado defiabilidad apropiado.
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima.

Planteamiento de problemas de Programación no lineal y optimización

Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple paramuchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal.
De una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar x=(x1, x2,…, xn) paramaximizar ƒ(x), sujeta a

No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato.  Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa.

Optimización Clásica

Es el uso de cálculo diferencial para determinar puntos máximos ymínimos (extremos) para funciones restringidas y no restringidas. Los métodos expuestos pueden no ser adecuados para los cálculos numéricos eficientes.

Un problema de optimización sin restricciones tiene el aspecto.

Max. (O Min.) f (X)
s. a X €IRn

El conjunto factible es todo IRn. La condición Xϵ IRn no supone ninguna restricción habitualmente la omitiremos, escribiendo simplemente.Max. (o Min.) f(X)

Este tipo de problemas ya han sido estudiados parcialmente por el alumno en las Matemáticas II, en donde se estudia cómo hallar los máximos o mínimos locales de una función. (Aunque en un problema de optimización lo que realmente buscamos son los máximos y mínimos globales).
La forma de buscar los máximos y mínimos globales es comprobar previamente si nuestra función...
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