Programs de capacitacion al personal
Gonzalo Arriaza G. Pauta Tutoría nº3 – 24 de Septiembre de 2010
1.
Comente y demuestre: a. El producto interno entre dos vectores es siempre positivo. Solución: Falso.Contraejemplo: (1,−1), (0,1) = −1 b. Demuestre que todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es L.I. Solución: Sea A = v 1 , v 2 ,..., v n un conjunto ortogonal de vectores no nulos, en un e.v. V sobre K.PD:
→
→
→
∑ α i vi = 0 ⇔ α i = 0, ∀i,α i ∈ K
i =1 → →
n
→
→
En efecto, sabemos que 0 , v j = 0 , además,
n → i →
∑α
i =1
n
→ i
→
vi , v j = 0
∑αi =1
vi , v j = 0
→ → →
→
α j v j , v j = 0 , pero v j , v j ≠ 0 por hipótesis
Luego, α j = 0, ∀j
2. Sea A = v 1 , v 2 ,..., v n una base ortogonal de un espacio vectorial V.Demuestre que para
→ → → →
→
→
→
→ 2
cualquier vector v ∈ V existen escalares α 1 , α 2 ,..., α n tales que v Solución: A es base de V ⇒ A es L.I.,
→ = ∑ α k vk k =1 n
2
A =V ,
Los vectores de A son ortogonales entre si
→ →
⇒
vi , v j
0, ∀i ≠ j 2 = → v j , ∀i = j
Luego,
→ →
Sea v ∈ V , v = En efecto:
→ 2 → →
∑α
k =1
n
→k
vk
v
= v, v =
∑ α k vk , ∑ α j v j
k =1 j =1 → → n
n
→
n
→
= α 1 v1 + α 2 v 2 + … + α n v n , ∑ α j v j
j =1
→
→
= α 1 v1 , ∑ α j v j + α 2 v 2 , ∑ α j v j + …+ α n v n , ∑ α j v j
j =1 j =1 j =1 → n → → n → → n →
→
n
→
→
n
→
→
n
→
= α 1 v1 , ∑ α j v j + α 2 v 2 , ∑ α j v j + … + α n v n , ∑ α j v j
j =1
n → → n = ∑ α k vk , ∑ α j v j k =1 j =1
j =1
j =1
n → → = ∑ α k vk , α k vk k =1
2
n → → → n 2 = ∑ α k α k v k , v k = ∑ α k v k k =1 k =1
3.
Sean los vectores x= (a, b, c )
1 3 y = ( p, q, r ) z = 2 4 w = (1,1) u = (0,1) . Entonces,
desarrollar, los siguientes ejercicios (las normas son euclidianas): • • • • • •
x + y
x+ y
,...
Regístrate para leer el documento completo.