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Algebra II
Gonzalo Arriaza G. Pauta Tutoría nº3 – 24 de Septiembre de 2010

1.

Comente y demuestre: a. El producto interno entre dos vectores es siempre positivo. Solución: Falso.Contraejemplo: (1,−1), (0,1) = −1 b. Demuestre que todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es L.I. Solución: Sea A =  v 1 , v 2 ,..., v n  un conjunto ortogonal de vectores no nulos, en un e.v. V sobre K.PD:

→ 





 

∑ α i vi = 0 ⇔ α i = 0, ∀i,α i ∈ K
i =1 → →

n





En efecto, sabemos que 0 , v j = 0 , además,
n → i →

∑α
i =1

n

→ i



vi , v j = 0

∑αi =1

vi , v j = 0
→ → →



α j v j , v j = 0 , pero v j , v j ≠ 0 por hipótesis
Luego, α j = 0, ∀j

2. Sea A =  v 1 , v 2 ,..., v n  una base ortogonal de un espacio vectorial V.Demuestre que para
→ → → →

→ 





 

→ 2

cualquier vector v ∈ V existen escalares α 1 , α 2 ,..., α n tales que v Solución: A es base de V ⇒ A es L.I.,

→   = ∑ α k vk   k =1 n

2

A =V ,
Los vectores de A son ortogonales entre si
→ →



vi , v j

 0, ∀i ≠ j  2 = →  v j , ∀i = j 

Luego,
→ →

Sea v ∈ V , v = En efecto:
→ 2 → →

∑α
k =1

n

→k

vk

v

= v, v =

∑ α k vk , ∑ α j v j
k =1 j =1 → → n

n



n



= α 1 v1 + α 2 v 2 + … + α n v n , ∑ α j v j
j =1





= α 1 v1 , ∑ α j v j + α 2 v 2 , ∑ α j v j + …+ α n v n , ∑ α j v j
j =1 j =1 j =1 → n → → n → → n →



n





n





n



= α 1 v1 , ∑ α j v j + α 2 v 2 , ∑ α j v j + … + α n v n , ∑ α j v j
j =1
n →   → n = ∑ α k vk , ∑ α j v j  k =1 j =1    

j =1

j =1

n →  →  = ∑ α k  vk , α k vk    k =1
2

n → → →   n 2 = ∑ α k α k v k , v k  = ∑ α k v k   k =1 k =1

3.

Sean los vectores x= (a, b, c )

1 3 y = ( p, q, r ) z =   2 4  w = (1,1) u = (0,1) . Entonces,   

desarrollar, los siguientes ejercicios (las normas son euclidianas): • • • • • •

x + y
x+ y

,...
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