Progresi n geom trica

Progresión geométrica

Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.
Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usasucesión cuando hay unacantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así,  es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo  el término en cuestión,  el primer término y , la razón:

En el ejemplo anterior, el cuarto elemento de laserie es:

Índice
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1 Ejemplos de progresiones geométricas
2 Suma de términos de una progresión geométrica
2.1 Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
2.2 Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
3 Producto de los primeros "n" términos de una progresión geométrica
4 Véase también
5 Enlaces externos
Ejemplos de progresiones geométricas[editar]
Laprogresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresiónalternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertos autores que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que  en la definición.
Suma de términos de una progresión geométrica[editar]
Suma de losprimeros n términos de una progresión geométrica[editar]
Se denomina como Sn a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.


puesto que 

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

ya que todos los términosintermedios se cancelan mutuamente.
Despejando 

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como

que expresa la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de larazón de la progresión.
Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios (ambos inclusive):

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica[editar]
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad , la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia unvalor finito. En efecto, si ,  tiende hacia 0, de modo que:

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

Producto de los primeros "n" términos de una progresión geométrica[editar]
El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula
 (si ).
Dado que los logaritmos de los términos deuna progresión geométrica de razón r (si ), están en progresión aritmética de diferencia ㏒ r, se tiene:
 , y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.

Introducción
sucesiones) y sus propiedades.

Entre estas sucesiones, unas de las primeras en estudiarse fueron aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo: son las que llamamos progresiones...