Progresiones aritmeticas y geometricas

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Ejemplo Nº1:

2.5,8,11,14,…(1)

El primer término es 2, el segundo es 5, etc. Puede observarse que cada termino se obtiene sumando 3 al termino anterior.

Ejemplo Nº2:

El primer término es 3, el cuarto es 24, y cualquier término se obtiene duplicando al anterior.

Este tipo de sucesiones las encontramos en loparticular en las matemáticas financieras.

Al termino “N” se lo conoce como el término n-ésimo o TERMINO GENERAL.

Sea la siguiente progresión a,b,c,d,e…u en la que el término n-ésimo y la razón.

Se puede notar que cada término es igual al primer término de la progresión mas tantas veces la razón como términos precede. Esta ley se cumple para todos los términos, por este se tendrá que u es igual alprimer término enésimo le preceden n-1 términos:

Donde:

A= Primer termino

N= Numero de términos

U= Termino enésimo o ultimo termino

En toda progresión aritmética la razón se halla restando a un termino cualquiera el anterior. Por ejemplo: la progresión aritmética 1,4,7,10…La razón se obtiene restando 10-7 =3 ó 4-1 =3

Partiendo de que u=a+(n+1)d, deesto se puede despejar que el primer termino a, la razón o diferencia d, el numero de términos n.

Despejando d:

D= u – a

n – 1

Despejando n:

N= u – a+d

d

Notación:

El signo de progresión aritmética es: (÷) y entre cada término y el siguiente se escribe un punto.

Así: ÷ 1.3.5.7… es unaprogresión aritmética creciente cuya razón es 2 porque 1+2 =3;

3+2=5; 5+2=7… etc.

Supongamos que queremos intercalar entre 2 y 14 tres términos a,b y c de manera que 2,a,b,c,14 estén en progresión aritmética.

Tenemos que:

A=2

U=14

N=5

Aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética se tieneque:

D= u – a

n – 1

D= 14 –2

5 – 1

D= 3

Por lo tanto la progresión aritmética es: 2,5,8,11,14.

Esto consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina INTERPOLACION.

Los términos que han sido hallados sedenominan: MEDIOS ARITMETICOS

La suma de los N primeros términos:

|S |= |N |(a+u) |= |N |[2a+(n-1)d] |
| | |2 | | |2 | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
|S |= |N |[2a+(n-1)d] | | | |
| | |2 | | ||

a= primer termino

n= numero de términos

u= termino enésimo o ultimo termino

d= razón o diferencia

s= suma de los n primeros términos

EJEMPLOS:

Calcule la suma de los primeros 20 términos de la progresión

|2 |+ |5 |+ |
| | |2 ||S20 |= |20 |[2(2)+(20-1)3] |
|S20 |= |10 |(4+57) |
|S20 |= |610 |

Es una serie de sucesión de términos formados de acuerdos con una ley,

Así:

1,3,5,7… es una serie cuya ley es que cada termino se obtiene sumando 2 al termino anterior: 1,2,4,8… es una serie cuya ley es que cada termino se obtiene multiplicando por 2 el terminoanterior.

Las progresiones se clasifican en:

- Progresiones Aritméticas

- Progresiones Geométricas

PROGRESIONES ARITMÉTICAS:

Ejemplo:

Supóngase que el Sr. Juan Macías pide al banco la cantidad de $5000,00 a un interés del 1% mensual. Él está de acuerdo en pagar $200,00 al capital de cada mes, más el interés en el balance. Al final del primer mes paga $ 200,00 más el...
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