Progresiones

16- PROGRESIONES

Una sucesión es una colección de números, escritos de acuerdo con una regla o no.
Tienen por dominio a los números naturales.
Para describir una progresión se utiliza la notación: an en donde la variable n nos indica el término de que se trata.
an= n(n+1)2 como podemos observar, la sucesión está escrita en términos de n; si quisiéramos conocer el terminocinco, n=5 y hacemos la sustitución en la sucesión, como se muestra

a5= 5(5+1)2=15 entonces a5=15
Si escribimos los siete primeros términos de la sucesión, tenemos.
a1= 1(1+1)2=1
a2= 2(2+1)2=3
a3= 3(3+1)2=6
a4= 4(4+1)2=10
a5= 5(5+1)2=15
a6= 66+12=21
a7= 7(7+1)2=28
Empezamos con n=1 porque es el primer número natural, luego dos que es el siguientenumero natural; así sucesivamente.
Recuerde que los números naturales son los enteros positivos
Para escribir la sucesión, se ponen comas entre cada numero; así escrita les llamamos términos de la sucesión.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28
El termino tres es igual 6
El termino siete es 28
Etc.
Ejercicios15. Encuentra el termino que se indica en cada caso.
a) Si an=n2 encuentra a4 b) Sian=n(n-1)2 encuentra a3 c) Si an=2n encuentra a12
SERIE
Se llama serie a la suma de los términos de una sucesión.
Entonces la serie de nuestro primer ejemplo queda:
1+3+ 6+ 10+ 15+ 21+ 28
Si denotamos por S a la suma de los términos, podemos escribir:
S=1+3+ 6+ 10+ 15+ 21+28
S=84
Encuentra el valor de las series, si n=5 en cada caso.
a) Si an=n2 encuentra a4 b)Si an=n(n-1)2 encuentra a3 c) Si an=2n encuentra a12
Hay sucesiones que por su importancia requieren, un estudio más detallado; se llaman progresiones aritméticas y progresiones geométricas.
PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresión aritmética es aquella en la que cada término lo obtengo sumando una cantidad constante llamada razón o diferencia. Para obtener la razón odiferencia; dado un término le resto el anterior.
La fórmula que nos permite conocer el término n-esimo o ultimo termino, es:
u=a+n-1r
* n Representa el numero de términos de la progresión.
* u Representa el termino n-esimo o ultimo termino
* r Representa la razón o diferencia a la cual crece o decrece la progresión
* a Representa el primer termino de la progresión
* SRepresenta la suma de los términos
En la progresión aritmética : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
a=1 primer termino
u=15 último termino
r=2 cada termino lo obtuve sumando una cantidad constante llamada razón, en este caso dos
n=8 número de términos
S=64 la suma de los términos
Algunos autores denotan a la razón o diferencia con d; en nuestro estudio vamos a usar r.
No siemprenos interesa conocer el último término, por lo que despejando convenientemente obtenemos las siguientes fórmulas:
- Si queremos conocer el primer término aplicamos: a=u-n-1r
- Si queremos conocer la razón: r= u-a(n-1)
- Si queremos conocer el número de términos: n=u-ar+1
- La suma de la progresión aritmética está dada por: S=a+un2
Ejemplos.
1.- Encuentra el término 16 de la progresión1, 5, 8, ..
Si consideramos que lo que se busca es el último término, empleamos: u=a+n-1r
En donde a=1; r=8-5=3 ; n=16 sustituyendo en la fórmula tenemos:
u=1+16-13
u=46
2.- Encontrar el primer término de la progresión aritmética cuya razón es -2, el numero de términos es 86 y el ultimo termino es 58.
Empleamos la fórmula para el primer término: a=u-n-1r sustituyendoa=58-86-1(-2)
a=228
3.- El primer término de una progresión aritmética es 3 y el octavo es 384. Hallar la razón.
La fórmula del la razón es: r= u-a(n-1) en donde u=384 ; a=3 ; n=8, sustituyendo
r= 384-3(8-1)
r= 3817 ≈54.42
4.- Sea la progresión 32; 31; … 15, cual es el numero de términos?
La fórmula del numero de términos es: n=u-ar+1 en donde u=15; a=32; r=31-32=-1 sustituyendo...