Propiedades de los espacios vectoriales

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a

1

2
2.1

Espacios vectoriales
Espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V = ∅ sobre el que hay definidas dos operaciones: 1. Suma: + : V × V −→ V (u, v) −→ u + v verificando las siguientes propiedades: (a) Conmutativa: u + v = v + u, ∀u, v ∈ V . (b) Asociativa: (u + v)+ w = u + (v + w), ∀u, v, w ∈ V . (c) Elemento neutro: Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u, ∀u ∈ V . (d) Elemento opuesto: Para todo u ∈ V existe −u ∈ V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0 2. Producto por un escalar: · : K × V −→ V (λ, u) −→ λ · u verificando las siguientes propiedades: (a) 1 · u = u, ∀u ∈ V . (b) λ · (µ · u) = (λµ) · u, ∀λ, µ ∈ K, ∀u ∈ V . (c) (λ + µ) · u = λ · u + µ · u, ∀λ, µ ∈K, ∀u ∈ V . (d) λ · (u + v) = λ · u + λ · v, ∀λ ∈ K, ∀u, v ∈ V . Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los n´meros reales. u Nota: En lo sucesivo, siempre que no haya confusi´n se omitir´ el punto (·) en la operaci´n o a o producto por escalar.

Ejemplos
Son espacios vectoriales reales, con lasoperaciones que se indican, los siguientes: 1. El conjunto de n-uplas de n´meros reales: u Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n} con las operaciones: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn )

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a 2. El conjunto de matrices de dimensi´n n × m: o Mn×m (R) = A = (aij )1≤i≤n : aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
1≤j≤m

2

con las operaciones: suma de matrices y producto por n´meros reales. u 3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x:
n

P(R) =
k=0

ak xk : n ∈ N, ak ∈ R

con las cl´sicas operaciones de suma y producto por n´meros reales. a u 4. El conjunto de todos los polinomios, con coeficientes reales en la variable x, degrado menor o igual que n:
n

Pn (R) =
k=0

ak xk : ak ∈ R

con las mismas operaciones anteriores. 5. El conjunto de todas las funciones reales: F(R) = {f : R −→ R} con las operaciones: suma de funciones y producto por n´meros reales. u 6. El conjunto de todas las sucesiones de n´meros reales: u S = {(xn )∞ : xn ∈ R, n ≥ 1} n=0 con las operaciones: suma de sucesiones y producto por n´merosreales. u 7. Si Z2 = {0, 1}, entonces Zn es un espacio vectorial sobre el cuerpo Z2 , con las operaciones: 2 0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1 y 0·0=0·1=1·0=0, 1·1=1

2.2

Propiedades

Si V es un espacio vectorial, entonces 1. 0 · u = 0. 2. (−1) · u = −u. para todo u ∈ V .

2.3

Subespacio vectorial

Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vac´ ıo S ⊂ Vque es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V .

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a

3

2.4

Caracterizaci´n de subespacios vectoriales o

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S = ∅, entonces S es subespacio vectorial de V ⇐⇒ (1) u + v ∈ S, ∀u, v ∈ S (2) λu ∈ S, ∀λ ∈ K y ∀u ∈ S

Demostraci´n: o (⇒) Evidente, pues S es espaciovectorial. (⇐) (1) y (2) garantizan que las operaciones est´n bien definidas sobre S, al ser ´ste un conjunto a e cerrado respecto de ellas. Adem´s, por ser S un subconjunto de V , se verifican todas las a propiedades de la suma y el producto siempre que sea cierto que 0 ∈ S y que el opuesto de cualquier elemento de S est´ en S. Ahora bien, para cualquier u ∈ S, a 0=0·u∈S luego S es un subespaciovectorial de V . y − u = (−1) · u ∈ S

2.5

Corolario

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S = ∅, entonces S es subespacio vectorial de V ⇐⇒ λu + µv ∈ S , ∀λ, µ ∈ K , ∀u, v ∈ S

Ejemplos
1. En todo espacio vectorial V , el conjunto {0} es un subespacio vectorial llamado subespacio trivial. 2. Sea F(R) = {f : R −→ R} el espacio vectorial de las funciones reales. Son subespacios...