Proporciones multinomiales

Estimación de proporciones multinomiales
Jairo Alfonso Clavijo Méndez Universidad del Tolima Abril de 2005 En esta conferencia haremos algunas consideraciones acerca del tamaño de muestra necesario para estimar proporciones bajo muestreo aleatorio simple. En particular el tema se centrará en el caso de distribuciones multinomiales, el más utilizado en la práctica y, a la vez, el más desconocido.Comenzaremos recordando algunos conceptos básicos como son las distribuciones binomial y multinomial y la fórmula para el cálculo del tamaño de muestra para proporciones binomiales.

1. La distribución binomial:
Supóngase que p es un valor en el intervalo [0, 1], el cual puede ser interpretado como la probabilidad con la cual se da un éxito en un experimento de Bernoulli (cualquier experimentoque tenga sólo dos resultados, éxito y fracaso, recibe este nombre). Supóngase ahora que el experimento se repite n veces en forma independiente (es decir, el resultado obtenido en un determinado momento no depende de los resultados obtenidos anteriormente). Si p es la probabilidad de éxito en una realización del experimento entonces q = 1 – p es la probabilidad de fracaso. A partir de laconocida fórmula para calcular una potencia de cualquier binomio, se obtiene: n n n n! ( p + q) n = ∑   p k q n− k donde  = k   k  ( n − k )! k! k =0     Puesto que p + q = 1 se concluye que la suma anterior vale 1. Esto permite definir una función de densidad, mediante la fórmula:
 n  x n − x   p q f ( x ) =  x     0  Si x = 0, 1, 2,L, n En cualquier otra parte

Es claroque la función anterior puede ser interpretada como la función que mide la probabilidad de que se den x éxitos en las n repeticiones del experimento de Bernoulli.

2 La función de densidad definida según la fórmula anterior, tiene como propiedad interesante el ser simétrica en el caso en que p = q = 0.5 y ser asimétrica en los demás casos. Pero, al ser intercambiables los papeles de p y q, cadacaso de asimetría izquierda tiene una imagen especular de asimetría derecha. Cada par de valores n y p da origen a una distribución de probabilidad, denominada binomial de parámetros n y p, comúnmente simbolizada como b(n,p) Si se conoce p se pueden calcular los valores de f (x ) y los de su acumulada (función de distribuc ión), definida como F ( x) = ∑ f ( t ) . Estos valores corresponden
t ≤xrespectivamente a la probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos en los n ensayos y la probabilidad de que el número de éxitos sea a lo más x. La gráfica 1 corresponde a la función de densidad binomial con p = 0.3 y n = 8. Como se ve, ella presenta una asimetría de tipo positivo, correspondiendo su máximo al caso x = 2 éxitos, cuya probabilidad es 0.2964.

Gráfica 1. Una distribuciónbinomial

3 Si una variable aleatoria discreta X tiene distribución binomial de parámetros n y p, se cumple E( X ) = np y V( X ) = np (1 − p) = npq donde q = 1 − p es la probabilidad de fracaso en cada experimento.

2. Distribución multinomial
La inmediata generalización de las variables binomiales que miden el número de éxitos y, por tanto de fracasos, en n experimentos de dos resultados, sonlas variables multinomiales que miden el número de ocurrencias de cada resultado en n experimentos diferentes cada uno con m posibles resultados (categorías). Un ejemplo de tales experimentos es la observación de la luz de un semáforo en funcionamiento. El experimento tiene tres posibles resultados a saber: amarillo, rojo, verde (A,R,V). El semáforo siempre estará en alguno de estos tres estadoscon ciertas probabilidades, digamos p A , pR , pV , tales que p A + pR + pV = 1 . Una variable aleatoria -trinomial en este caso- contará el número de veces n A que el semáforo esté en amarillo, el número de veces n R que esté en rojo y el número de veces nV en que se encuentre en verde, al ser observado n veces. Por supuesto n A + nR + nV = n . La función de densidad para la distribución de una...